Точный sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2

Для очень больших x вы можете выделить x/2:

sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2
 = (x/2) * sqrt( 1/(x/2)^2 + (x/2)^2/(x/2)^2) + x/2
 = (x/2) * sqrt( (2/x)^2 + 1 ) + x/2

Для x > 2/sqrt(eps) квадратный корень фактически будет равен 1, и все ваше выражение упростится до x. Предполагая, что вам нужно охватить весь диапазон [0, infinity], я бы предложил просто разветвиться в этой точке и вернуть x в этом случае и исходную формулу, иначе:

if x > 2/sqrt(eps)  // eps is the machine epsilon of your float type
    return x
else
    return sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2

Многие языки программирования предлагают функцию hypot(x,y), которая вычисляет sqrt (x*x + y*y), избегая при этом переполнения и потери значимости в промежуточных вычислениях. Многие реализации hypot также вычисляют результат более точно, чем наивное выражение. Эти преимущества достигаются за счет умеренного увеличения времени работы.

С помощью этой функции данное выражение можно записать как hypot (1.0, 0.5*x) + 0.5*x. Если выбранный вами язык программирования не поддерживает hypot или эквивалентную функцию, вы можете адаптировать реализацию, которую я предоставил в этом ответе.

Примечание. Было отмечено, что выражение, сгенерированное Херби, может не подходить во всех контекстах. В частности, метрики, используемые для улучшения выражения Херби, могут генерировать выражения, которые хуже работают для вашего конкретного сценария. Итак, примите его выход с зерновой солью. Я думаю, вы все еще можете проконсультироваться с Херби, чтобы получить представление, но не используйте его в качестве замены.

Херби (https://herbie.uwplse.org/) рекомендует следующую замену вашего выражения:

Or, in C:

double code(double x) {
    return ((double) (((double) sqrt(((double) (1.0 + ((double) pow((x / 2.0), 2.0)))))) + (x / 2.0)));
}

становится:

double code(double x) {
    double VAR;
    if (((x / 2.0) <= -8569.643649604539)) {
        VAR = (1.0 / ((double) ((1.0 / ((double) pow(x, 3.0))) - ((double) (x + (1.0 / x))))));
    } else {
        double VAR_1;
        if (((x / 2.0) <= 7.229769585372425e-11)) {
            VAR_1 = ((double) ((x / 2.0) + ((double) sqrt(((double) (1.0 + ((double) pow((x / 2.0), 2.0))))))));
        } else {
            VAR_1 = ((double) ((x / 2.0) + ((double) (((double) ((1.0 / x) + ((double) (x * 0.5)))) - (1.0 / ((double) pow(x, 3.0)))))));
        }
        VAR = VAR_1;
    }
    return VAR;
}

Он генерирует подробный отчет о том, почему он разбивает его на три области. Вывод Herbie может быть довольно трудным для чтения, и, как сообщается, он может быть не лучше, но, возможно, он может обеспечить альтернативное представление.

hypot()

Гипотетические функции вычисляют квадратный корень из суммы квадратов x и y без чрезмерного переполнения или потери значимости. Может возникнуть ошибка диапазона.

Затем код может получить лучший результат с hypot(1,x/2) + x/2;