Как использовать PARI/GP для вычисления обратного степенного ряда?

Я хочу инвертировать степенной ряд с помощью PARI/GP:
если $y=a[1]*x+a[2]*x^2+...+O(x^N)$ закодировано заданным массивом, скажем, a=vector(N-1), я хочу, чтобы PARI создал вектор b такой, что $x=b[1]*y+b[2]*y^2+...+O(y^N)$.
Это можно сделать с использованием полиномов Белла. В справочнике Pari есть

Bell(k,n=-1)=
{
my(var(i)=eval(Str("X",i)));
my(x,v,dv);
v=vector(k,i,if(i==1,’E,var(i-1)));
dv=vector(k,i,if(i==1,’X*var(1)*’E,var(i)));
x=diffop(’E,v,dv,k)/’E;
if(n<0,subst(x,’X,1),polcoeff(x,n,’X))
}

производство напр.

gp > Bell(3)
%3 = X1^3 + 3*X2*X1 + X3

Но я понятия не имею, как их использовать, т.е. приписывать значения X1, X2, ... в последующей формуле в Pari (на самом деле, я с трудом понимаю, как eval() и subst() работают в приведенной выше формуле!). Это должно быть тривиально для тех, кто знает... Помогите, пожалуйста!


array-formulas pari-gp
person Wolfgang    schedule 12.02.2020    source источник

Ответы (1)


arrow_upward
1
arrow_downward

PARI имеет встроенную функцию для реверсии степенных рядов, поэтому нет необходимости переходить к низкоуровневой реализации, которая, безусловно, очень неоптимальна и сложна.

Пример использования:

serreverse( x / (1 + x)^2 + O(x^20))

Второй пример (на основе примера по ссылке, указанной в вопросе)

serreverse(atan(x + O(x^20)))
tan(x + O(x^20))

Если ваш ряд находится в векторе v, вы должны сначала преобразовать его в степенной ряд, а затем вызвать serreverse. Например:

serreverse(Ser(v))

Чтобы позже преобразовать обратно в вектор, используйте функцию Vec. При преобразовании из степенного ряда в векторный PARI удалит все начальные нули, что может раздражать. Чтобы предотвратить это, есть второй аргумент, который вы обычно задаете как -n или -(n+1), где n — количество членов в степенном ряду.

person Andrew    schedule 13.02.2020
comment
о, спасибо, буду знать! (На жаргоне PARI было бы serreverse(atan(x + O(x^20))) :) - person Wolfgang; 13.02.2020
comment
И теперь я также знаю, почему я не мог найти его с помощью Google. Я попросил инверсию вместо реверса :) :) - person Wolfgang; 13.02.2020