Как заставить этот wp_query работать в шорткоде?

Я только что переместил предоставленный вами код в тестовую среду Wordpress, и становится очевидным, что вам не хватает некоторого ; в конце строки при использовании вашей переменной $output.

С помощью приведенного ниже кода я могу вывести ваш шорткод:

add_shortcode('test','exp_post_slider_shortcode');

function exp_post_slider_shortcode( $atts ) {

$a = shortcode_atts( array(
    'cat' => '15',
    'posts_per_page' => '3',
), $atts ); 

$output = '';   
 $args = array(

            'cat' => $a['cat'],
            'posts_per_page' => $a['posts_per_page'],
);
    $post_slider = new WP_Query( $args );

if ( $post_slider->have_posts() ) {
    // The Loop
     $output .=  '<div class="exp-post-slider-container">';
     $output .= '<div class="owl-carousel owl-theme exp-post-slider">';
    while ( $post_slider->have_posts() ) {
        $post_slider->the_post();
        $feat_image_url = wp_get_attachment_url( get_post_thumbnail_id($post->ID) );
        $output .= '<div class="exp-cat-slide" style="background-image:url('.$feat_image_url.'); background-size:cover; background-repeat:no-repeat;">';
        $output .= '<div class="exp-slide-post-info">';
        $output .= '<h2>' . get_the_title() . '</h2>';
        $output .= '<p>' . get_the_author() . ' | ' . get_the_date() . '</p>';
        $output .= '<p><a href="' . get_permalink() . '" class="exp-post-link-btn">View Post</a>';
        $output .= '</div></div>';
    }

    wp_reset_postdata();
} else { 

        $output .= '<div class="exp-cat-slide" style="background-image:url(https://webclient.co/explore/wp-content/uploads/2019/04/looking-out-no-posts.jpg); background-size:cover; background-repeat:no-repeat;">';
        $output .= '<div class="exp-slide-post-info">';
        $output .= '<h2>No Adventures Posted Here Yet</h2>';
        $output .= '<p>Check Back Soon!</p>';
        $output .= '<p><a href="https://webclient.co/explore/blog/" class="exp-post-link-btn">Check Out Our Blog</a>';
        $output .= '</div></div>';
}


$output .= '</div>';
$output .= '</div>';

return $output;
}

Еще одно замечание: обратите внимание на выходной буфер. Если вы столкнулись с тем, что содержимое вашего шорткода размещается не там, где вы ожидаете, взгляните на функцию ob_get_clean().

Вам нужна функция add_shortcode, чтобы превратить вашу функцию в шорткод. Очень хорошая документация по этому вопросу от WP: https://codex.wordpress.org/Shortcode_API

Может выглядеть так:

add_shortcode( 'exp_post_slider', 'exp_post_slider_shortcode' );

Затем в редакторе вы можете использовать это в своем контенте, чтобы вызвать функцию exp_post_slider_shortcode и сгенерировать вывод:

[exp_post_slider whatever_args="whatever..."]