Как следует из названия, ограничение - это ограничение, накладываемое на движение двух тел. Следовательно, чтобы успешно смоделировать ограничение, нужно полностью понимать, какие ограничения это ограничение накладывает на два тела, и представлять эти ограничения в виде уравнения импульса или силы. Решатели, основанные на импульсах, используются почти постоянно, а не решатели, основанные на силе, поскольку уравнения первого порядка (скорости) (и соответствующие числа) легче вычислять и обрабатывать, чем уравнения второго порядка (ускорение). Таким образом, мы рассмотрим моделирование импульсов для общих одномерных ограничений (n-мерные ограничения могут быть представлены как одно или несколько одномерных ограничений).

Моделирование ограничения первого порядка (скорости) одномерного ограничения

Первым шагом в моделировании ограничения с помощью импульсов является представление ограничения (ограничений) в виде уравнений первого порядка (скорость / импульс). Рассматриваемое фиксированное ограничение (далее именуемое просто «ограничение») имеет простое позиционное ограничение (нулевого порядка): линейное и угловое положения в пространстве ограничений должны оставаться неизменными (как указано относительным преобразованием rela). Мы можем преобразовать это в ограничение первого порядка, установив тот факт, что для того, чтобы сделать относительное положение двух тел постоянным, их относительная скорость должна быть равна нулю. Таким образом, ограничение можно интерпретировать как гарантию того, что относительные линейные и угловые скорости двух тел в пространстве ограничений равны нулю.

Теперь ограничение можно смоделировать как импульс, который необходимо приложить к системе, чтобы относительная скорость стала нулевой. Если v1 и v2 - начальная и конечная относительные скорости системы, m - масса системы, а j - импульс, приложенный для удовлетворения ограничения, тогда

v2 = v1 + j/m    (1)
v2 = 0           (2)

Первое уравнение справедливо для любого ограничения (это второй закон Ньютона), но второе уравнение (далее именуемое уравнением ограничения) справедливо только для данного ограничения.

Моделирование ограничения нулевого порядка (положения) одномерного ограничения

Наша модель теперь гарантирует, что относительное положение остается постоянным (ограничение первого порядка), но мы по-прежнему не применяем ограничение нулевого порядка, то есть относительное положение B по отношению к A должно быть таким, которое задано относительным преобразованием rela. Если x1 является «ошибкой» в позиции системы ограничений, то это может быть «введено» в импульс с помощью члена Баумгарте beta * x1/h, где h - временной шаг, а beta - параметр, обычно от 0 до 1. Можно считать beta равным быть долей позиционной ошибки, которую решатель должен разрешать в каждом кадре.

Наше уравнение ограничений теперь становится

v2 + beta*x1/h = 0

Примечание. Если решающая программа использует полунеявное интегрирование, тогда x1 является начальной позиционной ошибкой, но если решающая программа использует неявное интегрирование, на самом деле ошибка составляет x2 = x1 + v2*h.

Демпфирование / смягчение ограничения

Как вы указали, ограничение, которое вы ищете, является мягким (или затухающим) ограничением, поскольку вы хотите, чтобы движение происходило постепенно. Чтобы ослабить ограничение экспоненциально, мы моделируем дифференциальное уравнение экспоненциального затухания и добавляем значение, пропорциональное j (которое пропорционально производной скорости dv = v2 - v1, поскольку временной шаг становится бесконечно малым).

Наше уравнение ограничений теперь становится

v2 + beta * x1/h + gamma * j = 0

Где gamma >= 0 - другой параметр (также называемый коэффициентом демпфирования). Если gamma = 0, ограничение будет незатухающим или жестким.

Исключение v2 из двух уравнений и решение полученного уравнения для j дает нам

j = -(v1 + beta * x1/h) * (1/(gamma + 1/m))
                         | equivalent mass |

Решающая программа применяет этот импульс и его отрицательное значение в направлении оси (обычно называемой нормалью) ограничения.

Адаптация и использование общего одномерного мягкого ограничения

Этот общий одномерный импульс мягкого ограничения можно использовать для создания множества различных соединений, таких как фиксированные соединения, пружинные соединения и т. Д. Для фиксированного сустава мы хотим, чтобы ограничение ограничивало положение B и вращение в пространстве A, чтобы они были положением и вращением относительного преобразования. Таким образом, в пространстве A x1 = B.position - rela.origin и v1 = relative velocity of A and B along x1. Однако, поскольку мы хотим ограничить позицию в трех измерениях (т.е. x1 является трехмерным вектором, а не скаляром), мы можем решить ограничение одномерности по каждой из трех осей индивидуально. Затем этот процесс можно повторить для угловых положений и скоростей с использованием того же ограничения. Таким же образом можно получить импульс для любого одномерного ограничения.

Применение ограничения

После вычисления импульс j должен быть приложен к обоим телам в противоположных направлениях, чтобы общий импульс системы ограничений был равен нулю. В положительном состоянии этот импульс должен оттолкнуть два тела, а в отрицательном - сблизить их. Следовательно, если нормаль ограничения указывает от тела A к телу B (согласно соглашению), -j * normal применяется к телу A, а +j * normal применяется к телу B.

При необходимости ограничение 1-D может быть расширено до n-D. Некоторые ограничения, такие как ограничение пружины / расстояния, расположены вдоль линии и, следовательно, являются одномерными ограничениями по своей природе в n мерном пространстве и не требуют многократных итераций решения для разных осей.

Вы также можете изменить уравнение ограничения, чтобы учесть накопленные импульсы при демпфировании для стабильности, если ваш решатель использует теплый пуск. Демпфирующий член становится gamma * (j + j0), где j0 - это накопленный импульс, который прикладывается во время горячего пуска.

Отличия от решателей ограничений Bullet 1.5

Следует отметить, что фиксированное ограничение, которое вы ищете, на самом деле является _ 33_ (с ограничением всех 6 степеней свободы), а не Point2PointConstraint (шарнирный шарнир) в Bullet 1.5. Вы можете посмотреть его реализацию для справки. Решатели ограничений Bullet 1.5 используют немного другое (и немного более сложное) уравнение затухающего импульса (в котором относительная скорость умножается на коэффициент затухания, но не прибавляется к величине, обратной эквивалентной массе), что немного ослабляет ограничение. более. Выбор зависит от предпочтений, но я считаю, что тот, который здесь используется, более оправдан, а также его гораздо легче адаптировать к другим естественным мягким ограничениям (например, параметризация ограничения в терминах частоты пружины и коэффициента демпфирования для имитации демпфированная пружина).

Вы также можете взглянуть на код демпфированной пружины, который, надеюсь, не требует пояснений (мягкое ограничение расстояния) solver в моем 2D физическом движке.