Фоновое приложение, запускающее другое фоновое приложение

Нет, ты не можешь. Фоновые приложения:

запускаться при запуске компьютера и работать непрерывно без каких-либо ограничений на использование ресурсов управления временем жизни процесса

Таким образом, все фоновые приложения запускаются при запуске машины. И они контролируют свое время жизни (выбирая выход), но никто другой не может напрямую его отключить.

Возможно, Портал устройств Windows IoT Core REST API полезно.

Ниже приведен простой пример кода, который запускает фоновое приложение из другого фонового приложения:

namespace BackgroundApplicationStarter
{
    public sealed class StartupTask : IBackgroundTask
    {
        public void Run(IBackgroundTaskInstance taskInstance)
        {
            var deferral = taskInstance.GetDeferral();     

            StartApp();
        }

        private async void StartApp()
        {
            string fullPackageNameEncoded = System.Convert.ToBase64String(System.Text.Encoding.UTF8.GetBytes("BackgroundApplication1234-uwp_1.0.0.0_arm__a48w6404kk2ea"));

            Uri endpoint = new Uri("http://127.0.0.1:8080/api/iot/appx/app?appid=" + fullPackageNameEncoded);

            var client = new System.Net.Http.HttpClient();
            var byteArray = Encoding.ASCII.GetBytes("[insert your user name]:[insert your user password]");
            client.DefaultRequestHeaders.Authorization = new System.Net.Http.Headers.AuthenticationHeaderValue("basic", Convert.ToBase64String(byteArray));

            HttpContent content = new StringContent("", Encoding.UTF8);
            System.Net.Http.HttpResponseMessage response = await client.PostAsync(endpoint, content);
            HttpContent responseContent = response.Content;

            Debug.WriteLine("Response StatusCode: " + (int)response.StatusCode);
        }
    }
}

Вы можете получить полное имя пакета на портале устройств или в Visual Studio после завершения развертывания.