Почему свертка в пространственной области равна умножению в частотной области?

StackOverflow, к сожалению, не поддерживает MathJaX, поэтому здесь трудно показать математику.

Один из способов объяснить, что свертка — это линейный инвариантный оператор.
Как вы знаете, линейно-временные/пространственно-инвариантные системы в основном делают одну вещь — задержку и масштабирование.

Собственные функции задержки и масштабирования являются гармоническими функциями.
Это означает, что сигнал, описываемый гармоническими сигналами (практически его преобразование Фурье), оператор линейного времени/пространственно-инвариантного масштабирования масштабирует его только по комплексному числу (масштабирование и сдвиг по фазе). это то, что вы делаете в области Фурье.

Это похоже на диагонализацию в линейной алгебре.
Например, давайте рассмотрим фильтр, который мы применяем к изображению, как оператор - A.
Таким образом, выход системы равен y = A x.
Если A можно диагонализовать как A = P^T D P, где D — диагональная матрица, а P P^T = I — унитарная матрица.
Итак, y = A x = P^T D P x, следовательно, определяя z = P x и t = P y, мы получаем t = D z, а именно нам нужно умножать только каждый элемент в t, а не все матричное умножение.

Если вы думаете о P как об операторе Фурье-транца, то вместо матричного умножения вы можете использовать поэлементное умножение в другой области - области Фурье.