У меня есть высокоразмерный гауссов со средним M и ковариационной матрицей V. Я хотел бы рассчитать расстояние от точки p до M, принимая во внимание V (я думаю, это расстояние в стандартных отклонениях p от M?).
Говоря иначе, я беру эллипс на одну сигму от M и хочу проверить, находится ли p внутри этого эллипса.
Если V является допустимой ковариационной матрицей гауссова, то она является симметричной положительно определенной и, следовательно, определяет допустимое скалярное произведение. Кстати inv(V) тоже делает.
Поэтому, предполагая, что M и p являются векторами-столбцами, вы можете определить расстояния как:
d1 = sqrt((M-p)'*V*(M-p));
d2 = sqrt((M-p)'*inv(V)*(M-p));
способ Matlab можно было бы переписать d2as (возможно, некоторые ненужные скобки):
d2 = sqrt((M-p)'*(V\(M-p)));
Хорошо, что когда V — единичная матрица, то d1==d2 соответствует классическому евклидову расстоянию. Чтобы узнать, нужно ли вам использовать d1 или d2, оставлено в качестве упражнения (извините, часть моей работы - преподавание). Напишите многомерную формулу Гаусса и сравните ее с одномерным случаем, поскольку многомерный случай является лишь частным случаем одномерного (или проведите некоторый численный эксперимент).
NB: в очень многомерных пространствах или для очень многих точек для проверки вы можете найти умный/более быстрый способ из собственных векторов и собственных значений V (т.е. главных осей эллипсоида и их соответствующей дисперсии).
Надеюсь это поможет.
A.
Рассмотрим вычисление вероятности точки при нормальном распределении:
M = [1 -1]; %# mean vector
V = [.9 .4; .4 .3]; %# covariance matrix
p = [0.5 -1.5]; %# 2d-point
prob = mvnpdf(p,M,V); %# probability P(p|mu,cov)
Функция MVNPDF предоставляется набором инструментов статистики.
Может быть, я совсем ошибаюсь, но разве это не то же самое, что просто спрашивать каждое измерение: нахожусь ли я внутри сигмы?
ПСЕВДОКОД:
foreach(dimension d)
(M(d) - sigma(d) < p(d) < M(d) + sigma(d)) ?
Потому что вы хотите знать, находится ли p внутри каждого измерения вашего гауссова. Так что на самом деле это просто пространственная проблема, и ваш гауссиан ничего не должен с ней делать (кроме M и сигмы, которые являются просто расстояниями).
В MATLAB вы можете попробовать что-то вроде:
all(M - sigma < p < M + sigma)
Расстояние до того места может быть, где я не знаю функцию для евклидова расстояния. Возможно, dist работает:
dist(M, p)
Потому что M — это просто точка в пространстве и p тоже. Всего 2 вектора. А теперь последний. Вы хотите узнать расстояние в виде сигмы:
% create a distance vector and divide it by sigma
M - p ./ sigma
Думаю, это поможет.
