Примените параболический фильтр в частотной области

Вы можете попробовать посмотреть, что вы получите для разных значений.

Первое, что вы можете заметить, это то, что в функции фильтра есть 1, фильтр только усиливает, а не пробуждает частоту.

Во-вторых, если мы посмотрим на два других термина: мы усиливаем каждую пространственную частоту как функцию максимальной частоты в каждом направлении. Следовательно, для малых частот усиление будет минимальным, поскольку (smallFreq/largeFreq) ‹ 1, и возведение этого члена в квадрат сделает это значение еще меньше.

Для больших частот усиление будет больше. Для uMax и vMax усиление может быть в 3 раза больше исходного значения.

Если вы хотите знать, как повлияет исходное изображение, не возвращаясь к пространственной области, вы можете сказать, что области с высокими частотами (края изображения) будут иметь очень высокое значение, а области с низкими частотами (области с более или менее постоянное значение) останется прежним.

В заключение, похоже, что ваш фильтр является фильтром повышения резкости.

Я предполагаю, что u_max и v_max являются постоянными параметрами и что, не используя компьютер, вы имеете в виду не просто численный расчет эффекта, а предпочитаете аналитическое решение.

Фильтрация/умножение в пространстве Фурье соответствует свертке в реальном пространстве с преобразованной функцией фильтра Фурье. Чтобы узнать ядро ​​свертки, т.е. определить эффект, необходимо построить обратное преобразование Фурье данного фильтра H, если оно существует.

Mathematica решает

InverseFourierTransform[1+(u/umax)^2+(v/vmax)^2,{u,v},{x,y}]

to

2 \[Pi] DiracDelta[x] DiracDelta[y]-(2 \[Pi] DiracDelta[y] (DiracDelta^\[Prime]\[Prime])[x])/umax^2-(2 \[Pi] DiracDelta[x] (DiracDelta^\[Prime]\[Prime])[y])/vmax^2

то есть к запутанному выражению дельта-функций Дирака от x и y, а также вторых производных дельта-функций Дирака.

Мне немного сложно представить точную форму этого. Одна проблема заключается в том, что интеграл вашего фильтра H неограничен, поэтому мы все равно получаем проблему с нормализацией (или существованием преобразования Фурье), но (используя компьютер) для визуализации результатов я обнаружил, что ядро ​​свертки равно нулю для либо x, либо y отличны от нуля и максимальны при x=y=0, резко спадают по осям x и y и симметричны относительно осей x и y.

Итак, в заключение, это очень странный фильтр, который немного сглаживает по осям. Я бы тоже ожидал повышения резкости, как это делает в своем ответе Амитай, так что это немного удивительно.