Событие Keyup зависает на моем ноутбуке (Моя клавиатура застряла)

Вы не должны использовать async:false,, он делает асинхронный вызов синхронному вызову, который не требуется для реализации ajax.

В вашем случае, потому что у вас нет какой-либо методологии устранения отказов, которая используется для запуска какого-либо события по прошествии определенного времени. Тайм-аут может быть использован для создания debounce. Такие как:

var time;
$("#email").on("keyup", function() {
  if (time) {
    clearTimeout(time); // <----clears the timeout for every stroke but **last**.
  }// so if you keyup for "abc" then call for 3rd stroke initialized for the word "abc".
  time = setTimeout(function() {
    // now check if email id is changed
    var e = $("#email").val();
    if (e != "<?=$user_info[0]['user_email']?>" && e != "") {
      $.ajax({
        url: "<?=URL?>users/check-user-email",
        type: 'get',
        //async: false, // <-------remove it or comment out.
        data: {
          email: e
        },
        success: function(resp) {
          console.log(resp);
          if (resp == "Email exists") {
            $("#emailerror").css({
              'display': 'block'
            });
            $("#submit").prop("disabled", true);

          } else {
            $("#emailerror").css({
              'display': 'none'
            });
            $("#submit").prop("disabled", false);

          }
        }
      });
    }
  }, 500); // <----you can register for more than 500 ms.
});

Для каждой клавиши вызывается метод обратного вызова, что является основной причиной этого. Вместо этого вы можете использовать debounce, который будет вызываться через определенный интервал. Проверьте эту ссылку, используя подчеркивание js: http://underscorejs.org/#debounce

var someFunction = function (){
      // now check if email id is changed
        var e= $("#email").val();
        if(e!="<?=$user_info[0]['user_email']?>" && e!=""){
               $.ajax({
                url:"<?=URL?>users/check-user-email",
                type:'get',
                async:false,
                data:{email:e},
                success:function(resp){
                  console.log(resp);
                  if(resp=="Email exists"){
                    $("#emailerror").css({'display':'block'});
                    $("#submit").prop("disabled",true);

                  }else{
                     $("#emailerror").css({'display':'none'});
                      $("#submit").prop("disabled",false);

                  }
                }
            });
        }
}

$("#email").on("keyup", _.debounce(someFunction, 1000, true));