Методы поиска собственных значений матрицы с использованием Python?

В настоящее время я пытаюсь найти собственные значения матрицы H. Я пробовал использовать как numpy.linalg.eig, так и scipy.linalg.eig, хотя оба, по-видимому, используют один и тот же базовый метод.

Проблема в том, что моя матрица H чисто реальна, а собственные значения должны быть действительными и положительными.

Но методы scipy и numpy возвращают сложные собственные значения, как положительные, так и отрицательные, которые, поскольку они сложны и отрицательны, не могут быть правильными. ИЗМЕНИТЬ Я знаю, что собственные значения должны быть действительными, поскольку матрица представляет собой физическую систему, в которой комплексное собственное значение не имеет значения \ end EDIT

Кто-нибудь знает какой-либо другой способ получить правильные, чисто реальные собственные значения матрицы в python?

Спасибо за уделенное время! РЕДАКТИРОВАТЬ 3: Скорректированная матрица H дает чисто реальные собственные значения, поэтому моя воображаемая проблема исчезает. Теперь мне просто нужно выяснить, почему мои собственные значения слишком велики, но это другой вопрос!

Большое спасибо всем, кто откликнулся!

Скорректированная матрица H представлена ​​ниже для интереса. Обратите внимание, что моя проблема: собственные значения слишком велики. Я ожидал значений в диапазоне 0-1. Не ~ 10 ^ 50!

ИСПРАВЛЕННЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ H:

[ -1.56079757e-02  -6.70247389e+59  -1.31298702e+56  -3.64404066e+52
  -9.70803701e+48  -1.85917866e+45  -1.65895844e+41  -5.61503911e+39
  -7.19768059e+36  -4.58657021e+32  -4.98763491e+28  -3.08561491e+27
  -3.63383072e+25  -2.58033979e+25  -3.45930959e+23  -2.13272853e+18
  -4.25175990e+21  -1.93387466e+22]

ИСПРАВЛЕННАЯ МАТРИЦА H:

[[ -1.56079757e-02  -1.96247112e-02  -2.02799782e-02  -1.99695485e-02
   -1.93678897e-02  -1.86944625e-02  -1.30222438e+04  -3.54051869e+05
   -4.91571514e+06  -4.51159690e+07  -3.09207669e+08  -1.69913322e+09
   -2.76231241e+15  -4.29262866e+17  -3.76558847e+19  -2.27013318e+21
   -1.03308991e+23  -3.75607123e+24]
 [ -1.96247112e-02  -3.16659228e-02  -3.73018152e-02  -3.99083810e-02
   -4.09801356e-02  -4.12397330e-02  -9.25855152e+03  -2.52585509e+05
   -3.52145205e+06  -3.24749687e+07  -2.23781425e+08  -1.23712026e+09
   -1.95621015e+15  -3.04176626e+17  -2.67015928e+19  -1.61101326e+21
   -7.33788197e+22  -2.67049818e+24]
 [ -2.02799782e-02  -3.73018152e-02  -4.77923287e-02  -5.41249519e-02
   -5.79464638e-02  -6.01988341e-02  -7.57318263e+03  -2.06839231e+05
   -2.88760361e+06  -2.66717677e+07  -1.84121508e+08  -1.01989311e+09
   -1.59803489e+15  -2.48531861e+17  -2.18219073e+19  -1.31694511e+21
   -6.00020265e+22  -2.18437720e+24]
 [ -1.99695485e-02  -3.99083810e-02  -5.41249519e-02  -6.39296468e-02
   -7.06496425e-02  -7.52593492e-02  -6.56444085e+03  -1.79388958e+05
   -2.50607920e+06  -2.31660126e+07  -1.60063118e+08  -8.87505427e+08
   -1.38428190e+15  -2.15309349e+17  -1.89070134e+19  -1.14117996e+21
   -5.20014426e+22  -1.89341950e+24]
 [ -1.93678897e-02  -4.09801356e-02  -5.79464638e-02  -7.06496425e-02
   -8.00703376e-02  -8.70367786e-02  -5.87456014e+03  -1.60590211e+05
   -2.24436978e+06  -2.07565818e+07  -1.43492007e+08  -7.96094702e+08
   -1.23832305e+15  -1.92618393e+17  -1.69155984e+19  -1.02106226e+21
   -4.65319430e+22  -1.69443289e+24]
 [ -1.86944625e-02  -4.12397330e-02  -6.01988341e-02  -7.52593492e-02
   -8.70367786e-02  -9.62124393e-02  -5.36462746e+03  -1.46683176e+05
   -2.05056240e+06  -1.89701536e+07  -1.31188910e+08  -7.28124191e+08
   -1.13054072e+15  -1.75859951e+17  -1.54445848e+19  -9.32316767e+20
   -4.24900807e+22  -1.54734986e+24]
 [  0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00  -4.12478326e+18  -5.45644679e+19
   -2.90876009e+20  -8.98307694e+20  -1.93571800e+21  -3.25655840e+21
   -1.23009840e+30  -2.34880436e+32  -2.19696316e+34  -1.25767256e+36
   -4.92737192e+37  -1.41676103e+39]
 [  0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00  -5.45644679e+19  -1.18364260e+21
   -9.55137274e+21  -4.18185914e+22  -1.20837111e+23  -2.59872572e+23
   -4.88154308e+30  -1.23670123e+33  -1.52633071e+35  -1.14675488e+37
   -5.86768809e+38  -2.19383952e+40]
 [  0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00  -2.90876009e+20  -9.55137274e+21
   -1.10203112e+23  -6.57480361e+23  -2.48279601e+24  -6.72600978e+24
   -9.55655956e+30  -2.93055192e+33  -4.39290725e+35  -4.01427998e+37
   -2.49882367e+39  -1.13605487e+41]
 [  0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00  -8.98307694e+20  -4.18185914e+22
   -6.57480361e+23  -5.15935422e+24  -2.48241611e+25  -8.32646595e+25
   -1.32363927e+31  -4.60841402e+33  -7.90547208e+35  -8.31277603e+37
   -5.97680290e+39  -3.14644094e+41]
 [  0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00  -1.93571800e+21  -1.20837111e+23
   -2.48279601e+24  -2.48241611e+25  -1.48582210e+26  -6.06263231e+26
   -1.52615891e+31  -5.77316621e+33  -1.08616056e+36  -1.26177499e+38
   -1.00789238e+40  -5.92030497e+41]
 [  0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00  -3.25655840e+21  -2.59872572e+23
   -6.72600978e+24  -8.32646595e+25  -6.06263231e+26  -2.95791640e+27
   -1.59124215e+31  -6.34774909e+33  -1.27102306e+36  -1.58346849e+38
   -1.36500133e+40  -8.69716304e+41]
 [ -2.76231241e+15  -1.95621015e+15  -1.59803489e+15  -1.38428190e+15
   -1.23832305e+15  -1.13054072e+15   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
   -3.91170589e+42  -3.71477021e+44  -1.55100113e+46  -3.65410576e+47
   -5.53824601e+48  -5.87586247e+49]
 [ -4.29262866e+17  -3.04176626e+17  -2.48531861e+17  -2.15309349e+17
   -1.92618393e+17  -1.75859951e+17   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
   -3.71477021e+44  -5.04566596e+46  -2.92377802e+48  -9.33903419e+49
   -1.88272072e+51  -2.61414916e+52]
 [ -3.76558847e+19  -2.67015928e+19  -2.18219073e+19  -1.89070134e+19
   -1.69155984e+19  -1.54445848e+19   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
   -1.55100113e+46  -2.92377802e+48  -2.28558880e+50  -9.63567387e+51
   -2.51888438e+53  -4.46829479e+54]
 [ -2.27013318e+21  -1.61101326e+21  -1.31694511e+21  -1.14117996e+21
   -1.02106226e+21  -9.32316767e+20   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
   -3.65410576e+47  -9.33903419e+49  -9.63567387e+51  -5.25195965e+53
   -1.74576666e+55  -3.88366439e+56]
 [ -1.03308991e+23  -7.33788197e+22  -6.00020265e+22  -5.20014426e+22
   -4.65319430e+22  -4.24900807e+22   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
   -5.53824601e+48  -1.88272072e+51  -2.51888438e+53  -1.74576666e+55
   -7.26381158e+56  -1.99648815e+58]
 [ -3.75607123e+24  -2.67049818e+24  -2.18437720e+24  -1.89341950e+24
   -1.69443289e+24  -1.54734986e+24   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
   -5.87586247e+49  -2.61414916e+52  -4.46829479e+54  -3.88366439e+56
   -1.99648815e+58  -6.69651817e+59]]

Я оставил предыдущую неправильную матрицу H, чтобы уже существующие ответы имели смысл для будущих читателей.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: старая матрица H, которая определенно неверна.

[[  9.84292024e+03  -8.31470427e+03   1.28883548e+04  -1.42234052e+03
    6.39075781e+03   1.68134522e+03   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
   -5.93837816e+16   6.38322749e+16  -6.85843186e+16   5.75338966e+16
   -4.88603241e+16   3.50805052e+16]
 [ -8.31470427e+03   1.16557521e+05  -3.57981876e+05   7.96363898e+05
   -1.49026732e+06   2.53900589e+06   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    8.06918956e+18  -3.72079304e+19   1.23800418e+20  -3.42505937e+20
    8.36989008e+20  -1.86726751e+21]
 [  1.28883548e+04  -3.57981876e+05   3.15391321e+06  -1.63653726e+07
    6.55556033e+07  -2.25027001e+08   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
   -2.29647856e+20   2.23060743e+21  -1.47751020e+22   7.86504336e+22
   -3.61027130e+23   1.48623808e+24]
 [ -1.42234052e+03   7.96363898e+05  -1.63653726e+07   1.68187967e+08
   -1.22007429e+09   7.18684022e+09   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    3.46309077e+21  -5.84715936e+22   6.46859079e+23  -5.59189865e+24
    4.08308120e+25  -2.63166392e+26]
 [  6.39075781e+03  -1.49026732e+06   6.55556033e+07  -1.22007429e+09
    1.47164022e+10  -1.36810088e+11   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
   -3.69586675e+22   9.89735934e+23  -1.67505077e+25   2.15859810e+26
   -2.30442140e+27   2.13906412e+28]
 [  1.68134522e+03   2.53900589e+06  -2.25027001e+08   7.18684022e+09
   -1.36810088e+11   1.90724566e+12   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    3.17341100e+23  -1.27716724e+25   3.13774985e+26  -5.72503211e+27
    8.49214835e+28  -1.07936569e+30]
 [ -2.62366128e+07   3.12867102e+08  -2.07586348e+09   9.55718390e+09
   -3.58688215e+10   1.18206299e+11  -3.72545099e+19   3.55377485e+20
   -2.19797302e+21   1.06820421e+22  -4.43482421e+22   1.64613799e+23
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00]
 [  6.21899934e+06  -1.35300269e+09   2.25199661e+10  -2.08147670e+11
    1.41978312e+12  -8.03720030e+12   3.55377485e+20  -6.92933885e+21
    7.86285194e+22  -6.60223225e+23   4.55617308e+24  -2.73627888e+25
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00]
 [ -2.10320449e+07   4.11734924e+09  -1.49402973e+11   2.51974540e+12
   -2.86573004e+13   2.56306446e+14  -2.19797302e+21   7.86285194e+22
   -1.49349605e+24   1.98682041e+25  -2.09455082e+26   1.87262719e+27
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00]
 [  2.94574146e+06  -1.02367345e+10   7.58502833e+11  -2.20591701e+13
    3.96780330e+14  -5.32688366e+15   1.06820421e+22  -6.60223225e+23
    1.98682041e+25  -3.97295506e+26   6.07807050e+27  -7.69005025e+28
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00]
 [ -1.34143013e+07   2.23461195e+10  -3.24369808e+12   1.56693459e+14
   -4.30207139e+15   8.37537551e+16  -4.43482421e+22   4.55617308e+24
   -2.09455082e+26   6.07807050e+27  -1.30367761e+29   2.25611610e+30
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00]
 [ -1.29818367e+06  -4.45010813e+10   1.22995908e+13  -9.61118583e+14
    3.92675368e+16  -1.08141277e+18   1.64613799e+23  -2.73627888e+25
    1.87262719e+27  -7.69005025e+28   2.25611610e+30  -5.21172115e+31
    0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00
    0.00000000e+00   0.00000000e+00]
 [ -5.93837816e+16   8.06918956e+18  -2.29647856e+20   3.46309077e+21
   -3.69586675e+22   3.17341100e+23  -4.12843622e+30   1.31023908e+32
   -2.32666430e+33   2.96546578e+34  -3.03538906e+35   2.65606764e+36
   -3.91170589e+42   9.60158418e+43  -1.53011091e+45   1.88717441e+46
   -1.94862667e+47   1.76215269e+48]
 [  6.38322749e+16  -3.72079304e+19   2.23060743e+21  -5.84715936e+22
    9.89735934e+23  -1.27716724e+25   3.81005492e+31  -2.11434722e+33
    5.97475670e+34  -1.14689052e+36   1.70519806e+37  -2.11260012e+38
    9.60158418e+43  -3.55965236e+45   8.25594136e+46  -1.44373334e+48
    2.07304224e+49  -2.56816531e+50]
 [ -6.85843186e+16   1.23800418e+20  -1.47751020e+22   6.46859079e+23
   -1.67505077e+25   3.13774985e+26  -2.44128687e+32   2.26787992e+34
   -9.81982973e+35   2.73945925e+37  -5.71489855e+38   9.68877560e+39
   -1.53011091e+45   8.25594136e+46  -2.68951294e+48   6.44111112e+49
   -1.24291248e+51   2.03914940e+52]
 [  5.75338966e+16  -3.42505937e+20   7.86504336e+22  -5.59189865e+24
    2.15859810e+26  -5.72503211e+27   1.26953404e+33  -1.91719765e+35
    1.23852494e+37  -4.89510985e+38   1.39768692e+40  -3.16418412e+41
    1.88717441e+46  -1.44373334e+48   6.44111112e+49  -2.06086355e+51
    5.21505047e+52  -1.10591734e+54]
 [ -4.88603241e+16   8.36989008e+20  -3.61027130e+23   4.08308120e+25
   -2.30442140e+27   8.49214835e+28  -5.72744451e+33   1.37649297e+36
   -1.30066841e+38   7.14559647e+39  -2.74085484e+41   8.13459136e+42
   -1.94862667e+47   2.07304224e+49  -1.24291248e+51   5.21505047e+52
   -1.69908728e+54   4.57315759e+55]
 [  3.50805052e+16  -1.86726751e+21   1.48623808e+24  -2.63166392e+26
    2.13906412e+28  -1.07936569e+30   2.32655148e+34  -8.75599541e+36
    1.19185355e+39  -8.96773338e+40   4.55433688e+42  -1.74680817e+44
    1.76215269e+48  -2.56816531e+50   2.03914940e+52  -1.10591734e+54
    4.57315759e+55  -1.54023048e+57]]

python numpy scipy eigenvalue
person Community    schedule 13.10.2016    source источник
comment
Вы проверили numpy.linalg.eigh? ?   -  person Stelios    schedule 13.10.2016
comment
К сожалению, моя матрица не является эрмитовой или симметричной.   -  person    schedule 13.10.2016
comment
Как вы заранее узнаете, что у него есть действительные и положительные собственные значения? Приведите пример кода   -  person Stelios    schedule 13.10.2016
comment
Не видя H (или уменьшенную версию H, которая демонстрирует такое же поведение), трудно понять, имеет ли ваша матрица числовые особенности, которые делают процесс поиска собственных значений нестабильным, или если мнимые компоненты всех собственных значений пренебрежимо малы, или любой из нескольких других вещей.   -  person DSM    schedule 13.10.2016
comment
Моя матрица - это гамильтонова матрица 18 * 18, рассчитанная из 7-параметрической задачи минимизации. Я отредактировал текущую матрицу H, хотя, пока я не уверен, что процедура минимизации действительно работает правильно, я не знаю, правильно ли она. Я не могу сказать, правильно ли работает процедура минимизации, пока не получу физически значимые собственные значения. Комплексное собственное значение энергии ничего не значит, поэтому опубликованное H может быть удаленно правильным, а может и не быть.   -  person    schedule 13.10.2016
comment
После проверки матрицы (она не в форме, пригодной для использования в Python) с элементами в диапазоне от 0 до 10**57, мне трудно поверить, что эта матрица имеет только положительные собственные значения. Даже если он в принципе обладает этим свойством, дикий диапазон значений элементов предполагает числовые проблемы как при выводе матричных элементов, так и в последующем процессе поиска собственных значений.   -  person Stelios    schedule 13.10.2016
comment
Спасибо @Stelios, тогда вернемся к исходной точке :-)   -  person    schedule 13.10.2016

Ответы (3)


arrow_upward
1
arrow_downward

Стандартный метод - использовать numpy.linalg.eig .

from numpy import linalg as LA
w, v = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
# w:
# array([ 1.,  2.,  3.])
# v:
# array([[ 1.,  0.,  0.],
#        [ 0.,  1.,  0.],
#        [ 0.,  0.,  1.]])

Очевидно, что если ваша матрица очень специфична (скажем, очень большая и разреженная), обычно вы хотите использовать итерационный подход (например, метод подпространства Крылова), чтобы найти наиболее доминирующие собственные значения. Дополнительные сведения см. В обсуждении.

person Łukasz Rogalski    schedule 13.10.2016

arrow_upward
0
arrow_downward

Вы пробовали использовать libeigen? Для этого есть хорошая оболочка Python, которая называется minieigen.

#!/usr/bin/env python3

import minieigen as eigen

M = eigen.Matrix3(1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3)
print(M.spectralDecomposition())
person Mauro Lacy    schedule 13.10.2016

arrow_upward
0
arrow_downward

Ваша матрица не имеет гамильтоновой структуры, поскольку

J.dot(A).dot(J.T) - A.T

не равно нулю, где J определяется как

# J = [0  I]
#     [-I 0]
J = np.rot90(sp.linalg.block_diag(np.rot90(-eye(9)),np.rot90(eye(9))))

следовательно, нет условия, чтобы собственные значения были действительными и симметричными относительно мнимой оси. Также вы можете уменьшить масштаб матрицы до наименьшего числа десятичной степени, появляющегося в вашей матрице.

Вы, может быть, имеете в виду удлиненный гамильтонов карандаш?

person percusse    schedule 15.10.2016
comment
Спасибо, я исправил свою матрицу H. При расчете матрицы я допустил несколько ошибок, связанных с транскрипцией. Боюсь, я не знаю, что такое гамильтонов карандаш. - person ; 17.10.2016