Различные собственные векторы от Wolfram, Octave, Jama

У меня есть следующая матрица

M = 
       1  -3   3
       3  -5   3
       6  -6   4

Команда WolframAlpha eigenvalues {{1,-3, 3}, {3, -5, 3}, {6, -6, 4}} выдает следующие собственные значения:

lambda_1 = 4
lambda_2 = -2
lambda_3 = -2

И следующие собственные векторы:

v_1 = (1, 1, 2)
v_2 = (-1, 0, 1)
v_3 = (1, 1, 0)

Однако команда Octave [V,D]= eig(M) дает мне следующие собственные значения и собственные векторы:

    V =
      -0.40825 + 0.00000i   0.24400 - 0.40702i   0.24400 + 0.40702i
      -0.40825 + 0.00000i  -0.41622 - 0.40702i  -0.41622 + 0.40702i
      -0.81650 + 0.00000i  -0.66022 + 0.00000i  -0.66022 - 0.00000i

    D =
    Diagonal Matrix
       4.0000 + 0.0000i                  0                  0
                      0  -2.0000 + 0.0000i                  0
                      0                  0  -2.0000 - 0.0000i

И Джама дает мне следующее для собственных значений:

    4   0   0
    0  -2   0
    0   0  -2

And the following eigenvectors:

      -0.408248  -0.856787  -0.072040
      -0.408248  -0.650770  -1.484180
      -0.816497   0.206017  -1.412140

Результаты Octave и Jama кажутся отличными друг от друга и от результатов Wolfram — Octave даже дает сложные собственные векторы, в то время как собственные значения совпадают во всех трех методах.

Любое объяснение расхождений и того, как интерпретировать результаты Octave и Jame, чтобы они соответствовали результату Wolfram?

Обратите внимание, что ручной расчет приведен на http://алгебра.math.ust.hk/eigen/01_definition/lecture2.shtml согласуется с результатом Wolfram.

Большое спасибо за вашу помощь.


java eigenvalue eigenvector jama
person appFormation    schedule 11.04.2016    source источник
comment
Собственные значения от всех трех поставщиков одинаковы, что означает, что три собственных вектора также одинаковы.   -  person Tim Biegeleisen    schedule 11.04.2016

Ответы (1)


arrow_upward
2
arrow_downward

Все 3 ответа правильные.

Собственный вектор, соответствующий 4, может быть любым кратным (1, 1, 2). Другими словами, пока первые два значения одинаковы, а третье число в два раза больше, это собственный вектор.

Оба

(-0.40825 + 0.00000i, -0.40825 + 0.00000i, -0.81650 + 0.00000i)

и

(-0.408248, -0.408248, -0.816497)

имеют эту форму.

Собственное значение -2 повторяется. Поэтому собственное пространство, соответствующее собственному значению -2, является двумерным. Это означает, что гораздо труднее увидеть, что ответы эквивалентны.

Самый простой способ описать двумерное пространство, созданное двумя собственными векторами (1, 1, 0) и (1, 0, -1), — это набор всех векторов (a, b, c), удовлетворяющих

a - b + c = 0

Легко проверить, что все 6 собственных векторов, найденных для -2, имеют такую ​​форму.

Немного жалко, что Октав давал ответы в виде комплексных чисел, тогда как реальное решение существует, но на самом деле оно не является неправильным.

person Paul Boddington    schedule 11.04.2016