Как разрешить этот тупик?

После новой порции информации другого решения, кроме как перевести всю обработку в последовательный стиль, я не вижу. Таким образом, вы можете поместить все вызовы API, связанные с менеджером, в один синхронизированный метод некоторого класса-оболочки и использовать эту оболочку как единую точку входа для стороннего API.

class BrutalWrapper {
    public synchronized void doIt(Manager manager)
    {
        try{
            global.syncMap.get(manager);

        }
        finally{
            manager.releaseConnection();
        }
    }
}

class Sub1 extends Parent{
    BrutalWrapper brutal;
    public void someMethod()
    {
        brutal.doIt(manager);
    }
}

class Sub2 extends Parent{
    BrutalWrapper brutal;
    public void someMethod()
    {
        brutal.doIt(manager);
    }
}

Прежде всего, вам действительно следует попытаться исключить необходимость синхронизации в методе equals. Это создаст больше проблем, чем решит, поэтому, если возможен редизайн, я думаю, что это лучший способ.

Однако, если вы немного реструктурируете код и переместите global.syncMap.get(manager) перед блоком synchronization, это не приведет к взаимоблокировке.

public Class Parent{
    protected Manager manager;
}

class Global{
    private static final Map syncMap = Collections.synchronizedMap(new HashMap());
    //syncMap contains all the objects of Manager in the application
}

class Manager{


    public boolean equals(Object o){

        Manager obj = (Manager)o;
        return obj.getURL().equals(getURL());
    }

    public final synchronized String getURL(){
        return msettings.getDBURL(); //msettings is a global variable
    }


}


//Thread-1 is executing someMethod() of this class

class Sub1 extends Parent{
    Global global;
    //consider manager and Global object are not null
    public void someMethod()
    {
         try {
             global.syncMap.get(manager);
             synchronized(manager){

             }
         }
         finally{
             manager.releaseConnection();
         }            
    }
}

//Thread-2 is executing otherMethod() of this class
class Sub2 extends Parent{ 
    public void otherMethod()
    {
         try {
             global.syncMap.get(manager);
             synchronized(manager){

             }
         }
         finally{
             manager.releaseConnection();
         }                        
    } 
}

ОБНОВЛЕНИЕ Альтернативная синхронизация через Global.class, вероятно, может также использовать переменную экземпляра global вместо Global.class

ОБНОВЛЕНИЕ Синхронизация изменена на Manager.class вместо Global.class.

class Sub1 extends Parent
{
    Global global;

    public void someMethod()
    {
        synchronized (Manager.class) { 
            try {
                global.syncMap.get(manager);
            }
            finally {
                manager.releaseConnection();
            }
        }
    }
}


class Sub2 extends Parent
{
    Global global;

    public void otherMethod()
    {
        synchronized (Manager.class) { 
            try {
                global.syncMap.get(manager);
            }
            finally {
                manager.releaseConnection();
            }
        }
    }
}