Расчет матрицы LookAt

Я строю обзорную матрицу, создавая матрицу вращения 3x3, как вы сделали здесь, а затем расширяю ее до 4x4 с нулями и единственной единицей в правом нижнем углу. Затем я строю матрицу трансляции 4x4, используя отрицательные координаты точки взгляда (без скалярных произведений), и умножаю две матрицы вместе. Я предполагаю, что это умножение дает эквивалент скалярных произведений в нижней строке вашего примера, но мне нужно будет проработать это на бумаге, чтобы убедиться.

Трехмерное вращение преобразует ваши оси. Следовательно, вы не можете использовать точку взгляда напрямую, не преобразовав ее в эту новую систему координат. Это то, что выполняет умножение матриц - или, в данном случае, трех значений скалярного произведения.

Обратите внимание, что приведенный пример представляет собой основную матрицу с левым расположением строк.

Итак, операция такова: сначала перевести в начало координат (переместиться на - eye), затем повернуть так, чтобы вектор от eye до At выровнялся. с + z:

По сути, вы получите тот же результат, если предварительно умножите матрицу вращения на перевод - eye:

[      1       0       0   0 ]   [ xaxis.x  yaxis.x  zaxis.x 0 ]
[      0       1       0   0 ] * [ xaxis.y  yaxis.y  zaxis.y 0 ]
[      0       0       1   0 ]   [ xaxis.z  yaxis.z  zaxis.z 0 ]
[ -eye.x  -eye.y  -eye.z   1 ]   [       0        0        0 1 ]

  [         xaxis.x          yaxis.x          zaxis.x  0 ]
= [         xaxis.y          yaxis.y          zaxis.y  0 ]
  [         xaxis.z          yaxis.z          zaxis.z  0 ]
  [ dot(xaxis,-eye)  dot(yaxis,-eye)  dot(zaxis,-eye)  1 ]

Дополнительные замечания:

Обратите внимание, что преобразование просмотра (намеренно) инвертировано: вы умножаете каждую вершину на эту матрицу, чтобы «переместить мир» так, чтобы часть, которую вы хотите увидеть, попала в объем канонического просмотра.

Также обратите внимание, что компонент матрицы вращения (назовем его R) матрицы LookAt - это матрица инвертированного изменения базиса, где строки R новые базисные векторы в терминах старых базисных векторов (отсюда имена переменных xaxis.x, .. xaxis - это новая ось x после изменения базиса). Однако из-за инверсии строки и столбцы меняются местами.

Немного общей информации:

Матрица просмотра - это матрица, которая позиционирует / поворачивает что-то, чтобы указать (посмотреть) на точку в пространстве из другой точки в пространстве.

Метод берет желаемый «центр» обзора камеры, вектор «вверх», который представляет направление «вверх» для камеры (вверх почти всегда (0,1,0), но это не обязательно ), и вектор "глаза", который является местоположением камеры.

Это используется в основном для камеры, но также может использоваться для других техник, таких как тени, прожекторы и т. Д.

Честно говоря, я не совсем уверен, почему компонент перевода устанавливается именно так, как в этом методе. В gluLookAt (из OpenGL) компонент перевода установлен на 0,0,0, поскольку камера всегда рассматривается как находящаяся на 0,0,0.

Этот компонент перевода помогает вам, создавая ортонормальную основу с вашим «взором» на источник и всем остальным. иначе выражается в терминах этого источника (вашего «глаза») и трех осей.

Идея не столько в том, что матрица регулирует положение камеры. Скорее, он пытается упростить математику: когда вы хотите визуализировать изображение всего, что вы можете видеть из своего положения «глаза», проще всего представить, что ваш глаз является центром вселенной.

Итак, краткий ответ заключается в том, что это значительно упрощает математику.

Отвечая на вопрос в комментарии: причина, по которой вы не просто вычитаете позицию «глаза» из всего, связана с порядком операций. Подумайте об этом так: как только вы окажетесь в новой системе отсчета (то есть в положении головы, представленном xaxis, yaxis и zaxis), вы теперь хотите выразить расстояния в терминах этой новой (повернутой) системы отсчета. Вот почему вы используете скалярное произведение новых осей с положением глаза: оно представляет то же расстояние, на которое вещи должны переместиться, но использует новую систему координат.

Точечный продукт просто проецирует точку на ось, чтобы получить x-, y- или z-компоненты глаза. Вы перемещаете камеру назад, поэтому взгляд на (0, 0, 0) из (10, 0, 0) и из (100000, 0, 0) будет иметь разный эффект.

Матрица просмотра выполняет эти два шага:

1. Переведите вашу модель в начало координат,
2. Поверните его в соответствии с ориентацией, заданной вектором вверх и направлением взгляда.

Точечный продукт просто означает, что вы сначала делаете перевод, а затем вращаете. Вместо умножения двух матриц скалярное произведение просто умножает строку на столбец.

Матрица преобразования 4x4 содержит два-три компонента: 1. матрицу вращения 2. добавляемое перемещение. 3. Масштаб (многие движки не используют это прямо в матрице).

Их комбинация преобразует точку из пространства A в пространство B, следовательно, это матрица преобразования M_ab

Теперь положение камеры находится в пространстве A, поэтому это недопустимое преобразование для пространства B, поэтому вам нужно умножить это местоположение на преобразование поворота.

Остается только один открытый вопрос: почему именно точки? Что ж, если вы напишете 3 точки на бумаге, вы обнаружите, что 3 точки с X, Y и Z в точности похожи на умножение с матрицей вращения.

Примером для этой четвертой строки / столбца будет взятие нулевой точки - (0,0,0) в мировом пространстве. Это не нулевая точка в пространстве камеры, поэтому вам нужно знать, каково представление в пространстве камеры, поскольку вращение и масштаб оставляют его равным нулю!

ваше здоровье

Точку взгляда необходимо размещать в пространстве вашей оси, а не в мировом пространстве. Когда вы ставите точку на векторе с базисным вектором единицы координат, одним из x, y, z, он дает вам координаты глаза в этом пространстве. Вы трансформируете местоположение, применяя три перевода в последнем месте, в данном случае в последней строке. Затем перемещение глаза назад при отрицательном результате эквивалентно перемещению всего остального пространства вперед. Точно так же, как подъем в лифте заставляет вас чувствовать, что весь остальной мир выпадает из-под вас.

Использование левой матрицы с переводом в последней строке вместо последнего столбца - это религиозное различие, которое не имеет абсолютно никакого отношения к ответу. Однако это догма, которой следует строго избегать. При рисовании эскизов деревьев лучше всего связывать преобразования глобального в локальный (прямая кинематика) слева направо в естественном порядке чтения. Использование левосторонних матриц заставляет вас писать их справа налево.