проблема извлечения тега jsoup

Поскольку этот HTML недостаточно семантичен для конечной цели, которую вы преследуете (<br> не может иметь дочерних элементов, а : не является HTML), вы мало что можете сделать с парсером HTML, таким как Jsoup. Анализатор HTML не предназначен для извлечения/маркировки определенного текста.

Лучшее, что вы можете сделать, это получить HTML-контент <div> с помощью Jsoup, а затем извлечь его, используя обычные методы java.lang.String или, может быть, java.util.Scanner.

Вот пример запуска:

String html = "<div style=\"height:240px;\"><br>test: example<br>test1:example1</div>";
Document document = Jsoup.parse(html);
Element div = document.select("div[style=height:240px;]").first();

String[] parts = div.html().split("<br />"); // Jsoup transforms <br> to <br />.
for (String part : parts) {
    int colon = part.indexOf(':');
    if (colon > -1) {
        System.out.println(part.substring(colon + 1).trim());
    }
}

Это приводит к

example
example1

Если бы я был автором HTML, я бы использовал для этого список определений. Например.

<dl id="mydl">
     <dt>test:</dt><dd>example</dd>
     <dt>test1:</dt><dd>example1</dd>
</dl>

Это более семантично и, следовательно, более легко анализируется:

String html = "<dl id=\"mydl\"><dt>test:</dt><dd>example</dd><dt>test1:</dt><dd>example1</dd></dl>";
Document document = Jsoup.parse(html);
Elements dts = document.select("#mydl dd");
for (Element dt : dts) {
    System.out.println(dt.text());
}