Как установить для NCHAR значение null с помощью оператора обновления (команда C# sql)

Проблема в том, что вы устанавливаете локальную переменную commandText в оператор обновления вместо command.CommandText. Измените его на следующее

command.CommandText = "UPDATE Brukere SET Engangskode=NULL WHERE Navn=@navn AND Mobilnr=@mobilnr";

И я думаю, что это сработает с кастингом или без него.

Я бы порекомендовал НЕ "повторно использовать" SqlCommand в вашем примере - создайте новую конкретную команду для оператора UPDATE, что-то вроде этого:

using (SqlConnection con = new SqlConnection(connectionString))
{
    con.Open();

    string bruker = Request.Cookies["Navn"].Value;
    string mobilnr = Request.Cookies["Mobilnr"].Value;

    string commandText = "SELECT Engangskode FROM Brukere WHERE Navn=@navn AND Mobilnr=@mobilnr";

    bool correctCode = false;

    try
    {
        using (SqlCommand command = new SqlCommand(commandText, con))
        {
            .....

            if (correctCode)
            {
                // DO NOT "reuse" the previous SqlCommand - create a new, specific one!
                string updateQuery = "UPDATE Brukere SET Engangskode = NULL WHERE Navn = @navn AND Mobilnr = @mobilnr;";

                using (SqlCommand updateCmd = new SqlCommand(updateQuery, con)
                {
                    updateCmd.Parameters.Add("@navn", SqlDbType.NVarChar, 20).Value = bruker;
                    updateCmd.Parameters.Add("@mobilnr", SqlDbType.NChar, 10).Value = mobilnr;

                    updateCmd.ExecuteNonQuery();

                    Response.Redirect("Kvittering.aspx",  false);
                }
            }
        }                                    
    }
    catch( .... )
    {
        .......
    }
}            

Нет необходимости бросать. Просто установите столбец = null. БЕЗ кавычек, ага!