3d геометрия: как интерполировать матрицу

Ознакомьтесь с Матричная анимация и полярная декомпозиция. Основная идея состоит в том, чтобы разбить матрицы преобразования на значимые компоненты, такие как растяжение, вращение и перемещение, а затем интерполировать их.

Если вы интерполируете все 16 элементов вашей матрицы, результат будет выглядеть странно, так как интерполированные матрицы не будут подвергаться жестким преобразованиям (вы получите перекос и объемные деформации). Правильнее всего отделить перемещение и вращение/масштабирование, дав вам вектор перемещения T и матрицу вращения 3x3 R (это работает только в том случае, если ваш исходный 4x4 представляет собой жесткое преобразование). Затем возьмите разложение по собственным значениям 3x3 R=Q'DQ (галочка означает транспонирование), что даст вам ортогональное Q и диагональное масштабирование D. Теперь вы линейно интерполируете T и D, в то время как вы slerp столбцы Q, а затем вы снова собираете матрицу.

позвольте мне перефразировать ваш вопрос:

вам нужно интерполировать между R0 и R1.

И предлагает сделать это как:

Ri = aR0 + (1-a)R1

Это не сработает, как упомянул Виктор в своем ответе: вы получите перекос и объемные деформации.

математически (в контексте трехмерной геометрии) добавление не имеет особого смысла: что означает добавление двух матриц перевода?

установленное решение состоит в интерполяции как:

Ri = (R1*(инверсия(R0)))^a*R0

где мы определяем R^a как операцию, которая дает нам поворот вокруг вектора [kx, ky, kz] на a*тета градусов.

поэтому при a = 0 Ri = R0; при а = 1 Ri = R1. Это делает интерполяцию на основе умножения, что более естественно в контексте трехмерной геометрии.

Теперь самое сложное — как представить операцию R^a. Оказывается, использование кватернионного представления R позволяет нам представить операцию R^a. на основе статьи Кена Шумейка анимация вращения с помощью кватернионных кривых

Простая интерполяция значений матрицы, скорее всего, не даст вам того, что вы хотите, если только вы не выполняете очень простые преобразования (например, перевод или масштабирование).

Я думаю, что есть методы, которые разлагают матрицу на перемещение, вращение, масштабирование и т. д., а затем вы можете создавать новые матрицы, интерполирующие на основе этих параметров.

Вы также можете просто сделать преобразование до и после, а затем lerp вершины объекта. Это также может не дать вам желаемых результатов.

Я предполагаю, что вы спрашиваете, у вас есть объект x, вы применили линейное преобразование A к нему, чтобы получить Ax, и теперь вы хотите преобразовать его так, чтобы он был в том положении, в котором было бы, если бы вы применили другое преобразование B, т.е. преобразовать из Ax в Bx.

Предполагая, что A является обратимым, просто примените BA^-1, чтобы получить BA^-1(Ax) = Bx

[Изменить] Поскольку вы упомянули перемещение, вместо этого вы можете говорить об аффинном преобразовании. (линейное преобразование с последующим переводом). Если это так, вы хотите перейти
от Ax + C к Bx + D.

Для этого вычтите C (т.е. переместите объект в исходное положение), примените BA^-1 и добавьте D< /strong>:
(BA^-1((Ax + C) - C)) + D = Bx + D