Agda: имитируйте тактику перезаписи Coq

У меня есть некоторый опыт использования Coq, и сейчас я изучаю Agda. Я работаю над доказательством правильности сортировки вставками и дошел до точки, когда я хотел бы выполнить что-то похожее на тактику перезаписи Coq. В настоящее время у меня есть:

open import Data.Nat
open import Relation.Binary.PropositionalEquality
open import Data.Sum

data list : Set where
  nil : list
  cons : ℕ -> list -> list

data sorted (n : ℕ) : list -> Set where
  nilSorted : sorted n nil
  consSorted : ∀ hd tl -> hd ≥ n -> sorted hd tl -> sorted n (cons hd tl)

leMin : ∀ x y -> x ≤ y -> (x ⊓ y) ≡ x
leMin zero zero p = refl
leMin zero (suc y) p = refl
leMin (suc x) zero ()
leMin (suc x) (suc y) (s≤s p) = cong suc (leMin x y p)

insert : ℕ → list → list
insert x l = {!!}

intDec : ∀ x y → x ≤ y ⊎ x > y
intDec x y = {!!}

insertCorrect : ∀ {n} -> ∀ x l -> sorted n l -> sorted (n ⊓ x) (insert x l)
insertCorrect {n} x nil p with intDec n x
insertCorrect {n} x nil p | inj₁ x₁ with (leMin n x x₁) 
... | c = {c }0

Мой контекст доказательства выглядит так:

Goal: sorted (n ⊓ x) (cons x nil)
————————————————————————————————————————————————————————————
p  : sorted n nil
c  : n ⊓ x ≡ n
x₁ : n ≤ x
x  : ℕ
n  : ℕ

Я попытался разбить c в надежде заменить вхождения (n ⊓ x) на n, однако получаю следующую ошибку:

I'm not sure if there should be a case for the constructor refl,
because I get stuck when trying to solve the following unification
problems (inferred index ≟ expected index):
n₁ ⊓ x₂ ≟ n₁
when checking that the expression ? has type
sorted (n ⊓ x) (cons x nil)

По сути, я хотел бы иметь возможность выполнить перезапись, чтобы перейти к следующему пункту:

Goal: sorted n (cons x nil)
————————————————————————————————————————————————————————————
p  : sorted n nil
x₁ : n ≤ x
x  : ℕ
n  : ℕ

Есть идеи, как действовать?


pattern-matching dependent-type proof agda
person Matt    schedule 13.06.2015    source источник
comment
Можете ли вы отредактировать свой вопрос так, чтобы он был достаточно полным, чтобы его можно было загрузить в Agda?   -  person Cactus    schedule 13.06.2015

Ответы (1)


arrow_upward
3
arrow_downward

Вы можете использовать ключевое слово Agda rewrite, чтобы применить пропозициональную эквивалентность к своей цели:

insertCorrect : ∀ {n} -> ∀ x l -> sorted n l -> sorted (n ⊓ x) (insert x l)
insertCorrect {n} x nil p with intDec n x
insertCorrect {n} x nil p | inj₁ x₁ rewrite leMin n x x₁ = ?

Здесь цель в ?, как вы и надеялись:

Goal: sorted n (cons x nil)
————————————————————————————————————————————————————————————
p  : sorted n nil
x₁ : n ≤ x
x  : ℕ
n  : ℕ
person Cactus    schedule 13.06.2015