Двойное сравнение (снова)

Числа двойной точности хранятся внутри в форме мантиссы и экспоненты. Проверка равенства в числах с плавающей запятой двойной точности бесполезна, так как они могут быть очень-очень близкими, даже не совсем одинаковыми. Итак, вам нужно определить порог. Например, вы определяете эпсилон как, скажем, 0,000000001 или около того (точность зависит от вашего допуска на точность). Затем, если a, b - два двойных числа, проверьте, принимает ли abs(a-b) ‹ эпсилон как равенство или почти равенство.

Я действительно думаю, что ключевой вопрос заключается в следующем: что значит быть точным до двойной точности?

И я думаю, что есть простой ответ: если r — настоящий ответ, а d — двойное представление, то d-r<=d'-r для всех других возможных двойников — d'.

Это означает, что мой 2^nd алгоритм может быть точен до двойной точности только в том случае, если его выходные данные равны выходным данным золотого источника или действительное решение находится точно посередине между выходными данными алгоритма.

Мой 2^nd алгоритм не такой точный.

Теперь возникает вопрос: какая точность мне требуется? В обмене с Дебасишем я установил, что абсолютные различия не являются подходящей метрикой. Я подозреваю, что относительные различия лучше, но не совсем то, что я хочу.

Я остановился на следующем алгоритме, чтобы сообщить о «разнице», который считает равенство до 15 значащих цифр равенством:

double doubles_differ(double a, double b) {
  const int significant_figures = 15;

  // This test will catch most cases
  if (std::abs(a - b) < pow(.1, significant_figures)
                        * std::max(std::abs(a), std::abs(b)))
    return 0;

  // Because we are at the edge of double precision, sometimes a case that is
  // actually equal slips through the above test. The following should be more
  // robust, but a lot slower.
  std::stringstream ss_a;
  std::stringstream ss_b;
  ss_a << std::setprecision(significant_figures - 1) << std::scientific << a;
  ss_b << std::setprecision(significant_figures - 1) << std::scientific << b;
  std::string s_a = ss_a.str();
  std::string s_b = ss_b.str();
  if (s_a == s_b)
    return 0;

  // Finally, return the difference scaled to unity.
  // Format: "7.70612131004268e-013" = significand, followed by "e±nnn".
  if (s_a.substr(s_a.length() - 5, 5) != s_b.substr(s_b.length() - 5, 5))
    throw std::runtime_error("Big diff");

  std::stringstream ss_convert_a(s_a.substr(0, s_a.length() - 6));
  std::stringstream ss_convert_b(s_b.substr(0, s_b.length() - 6));
  double a_converted;
  double b_converted;
  if (!(ss_convert_a >> a_converted))
    throw std::runtime_error("Could not convert a");
  if (!(ss_convert_b >> b_converted))
    throw std::runtime_error("Could not convert b");

  return std::abs(a_converted - b_converted);
}

Наконец, некоторые примеры данных:

a     = 9.9399367132570751e-016
b     = 9.9399367132633209e-016
index   1 2345678901234567
diff  = 6.3007377093526884e-012
relative diff = 6.2835472672107563e-013

Обратите внимание, что показатель степени diff указывает количество значащих цифр точности (в данном случае 12). Я не уверен, на что (если вообще что-либо) указывает относительная разница.

Должен быть лучший способ сделать это без строк...