Моя логика сортировки вставками кажется правильной, но не работает

Вы не можете поменять местами значения в другом методе таким образом, поскольку параметры передают значения, а не ссылки на значения.

Вам, вероятно, лучше просто не использовать отдельный метод для обмена, например этот (также пришлось увеличивать вместо уменьшения значения i и j):

public int[] insertionSort(int[] a) {
    int temp;

    for(int i=0; i<a.length;i++) {
        int j=i;

        while(j > 0 && a[j-1] > a[j]) {
            temp = a[j];
            a[j] = a[j-1];
            a[j-1] = temp;
            j--;
        }
    }
    return a;
}

Редактировать: пришлось обновить снова - условия в цикле while были в неправильном порядке, поэтому он искал следующий индекс массива, прежде чем проверять, достиг ли он конца массива.

Редактировать 2. Как упоминалось в комментариях, я покажу, как написать метод swap, который действительно работает — вместо передачи значений вам придется передавать весь массив и возвращать его после. Я бы по-прежнему, вероятно, рекомендовал сделать это вышеописанным способом, но только в образовательных целях:

public int[] insertionSort(int[] a) {

    for(int i=0; i<a.length;i++) {
        int j=i;

        while(j > 0 && a[j-1] > a[j]) {
            a = swap(a, j-1, j);
            j--;
        }
    }
    return a;
}


public int[] swap(int[] a, int index1, int index2) {
    int temp = a[index1];
    a[index1] = a[index2];
    a[index2] = temp;
    return a;
}

Редактировать 3: делал что-то глупое и не совсем дал сортировку вставками. Теперь все в порядке (извините за каламбур).