Дизайн класса С++: динамическая типизация, альтернатива аргументу шаблона?

Я хотел бы построить компактный модульный арифметический класс. Идея состоит в том, что модуль M является неизменяемым атрибутом, который фиксируется во время создания экземпляра, поэтому, если у нас есть большой массив (std::vector или другой контейнер) значений с одним и тем же M, M нужно сохранить только один раз.

Если M можно исправить во время компиляции, это можно сделать с помощью шаблонов:

template <typename num, num M> class Mod_template
{
    private:
        num V;
    public:
        Mod_template(num v=0)
        {
            if (M == 0)
                V = v;
            else
            {
                V = v % M;
                if (V < 0)
                    V += M;
            }
        }
        // ...
};

Mod_template<int, 5> m1(2); // 2 mod 5

Однако в моем приложении мы должны иметь возможность выражать время выполнения M. То, что у меня есть, выглядит так:

template <typename num> class Mod
{
    private:
        const num M;
        num V;
    public:
        Mod(num m, num v=0): M(abs(m))
        {
            if (M == 0)
                V = v;
            else
            {
                V = v % M;
                if (V < 0)
                    V += M;
            }
        }
        // ...
};

Mod<int> m2(5, 2); // 2 mod 5
Mod<int> m3(3);    // 0 mod 3

Это работает, но большой вектор значений mod M использует в 2 раза больше места, чем ему нужно.

Я думаю, что основная концептуальная проблема заключается в том, что Моды разных модулей синтаксически относятся к одному и тому же типу, даже если они «должны» быть разными типами. Например, такое заявление, как

m2 = m3;

должен вызывать ошибку времени выполнения "естественным образом" (в моей версии это происходит "вручную": проверка встроена в конструктор копирования, а также в каждый бинарный оператор, который я реализую).

Итак, есть ли способ реализовать какую-то динамическую типизацию, чтобы тип объекта Mod запоминал модуль? Я был бы очень признателен за любую идею, как решить эту проблему.

Для меня это повторяющаяся проблема с различными математическими структурами (например, хранение множества перестановок в одном наборе, элементов одной группы и т. д.).

РЕДАКТИРОВАТЬ: насколько я понимаю,

• шаблоны — это типы, параметризованные классом или литералом.

• что я хочу: тип, параметризованный константным объектом (const num в данном случае, const Group& или const Group *const для групп и т. д.).

Это возможно?