Этот вопрос может показаться математическим, но это скорее вопрос программирования, связанный с дискретизацией, поэтому я решил задать его здесь.
Задача состоит в том, чтобы найти конечно-разностную аппроксимацию второго порядка частной производной uxy, где u — функция от x< /em> и y.
Страница 5 из этого PDF-файла, который я обнаружил, делает различие по центру аппроксимировать его в два этапа. Сначала он выполняет центрированную конечно-разностную аппроксимацию 2-го порядка одного из партиалов, а затем вставляет в него аппроксимацию второго партиала (используя ту же формулу):
Вставка строк 2 и 3 в 1 дает (согласно pdf) следующее:
У меня проблема с последним O[(Δx)2,(Δy)2]. Обратите внимание, что когда члены O(Δy)2 строк 2 и 3 входят в числитель 1, они делятся на Δx в знаменателе. Так почему же остаточные члены в строке 3 равны O(Δy)2 вместо O(Δy2/Δx)? Будет ли это больше приближением «второго порядка»? (Если, скажем, шаг сетки по обеим осям одинаков (Δx=Δy=h), член имеет порядок h2/h =h, а не h2.)
Мое предложение состояло бы в том, чтобы использовать приближение более высокого порядка (3-го или более) в строках 2 и 3, чтобы выдержать деление на Δx и по-прежнему иметь окончательное выражение во 2-м порядке. Но я могу что-то упустить здесь.
