Как я могу отправить запрос на сервер с данными JSON и загрузить файл из клиента AngularJS, используя $resource через JAX-RS (Джерси)?

К сожалению, это невозможно. Вы можете загрузить изображение на сервер с помощью AJAX, если вы ориентируетесь на самые последние браузеры с помощью XmlHttpRequest2, но вы все равно не сможете загрузить данные изображения и JSON в одном запросе. Обычно это обрабатывается путем загрузки файла внутри iframe, а затем запуска чего-либо в вашем приложении angular после завершения загрузки.

Если вы погуглите «загрузку угловых файлов», вы найдете множество библиотек, которые могут помочь с этим.