PHP - Как узнать, разрешает ли сервер shell_exec

Сначала убедитесь, что он вызывается, а затем не отключен:

is_callable('shell_exec') && false === stripos(ini_get('disable_functions'), 'shell_exec');

Этот общий подход работает для любой встроенной функции, поэтому вы можете обобщить ее:

function isEnabled($func) {
    return is_callable($func) && false === stripos(ini_get('disable_functions'), $func);
}
if (isEnabled('shell_exec')) {
    shell_exec('echo "hello world"');
}

Обратите внимание на использование stripos, потому что имена функций PHP нечувствительны к регистру.

Вы можете проверить доступность самой функции:

if(function_exists('shell_exec')) {
    echo "exec is enabled";
}

Кстати: есть ли особое требование использовать «shell_exec», а не «exex»?

php.net

Note:
This function can return NULL both when an error occurs or the program 
produces no output. It is not possible to detect execution failures using 
this function. exec() should be used when access to the program exit code 
is required.

ИЗМЕНИТЬ №1

Как указал DanFromGermany, вы, вероятно, проверяете, является ли он исполняемым. Что-то вроде этого сделает это

if(shell_exec('echo foobar') == 'foobar'){
    echo 'shell_exec works';
}

РЕДАКТИРОВАНИЕ №2

Если приведенный выше пример может привести к появлению предупреждений, вы можете сделать это более подходящим способом. Просто см. этот ответ SO.