Минимальное поверхностное решение в Python

Вопрос гласит, что нам нужно решить нелинейное уравнение в частных производных. Однако Википедия утверждает, что «Их трудно изучать: почти нет общих методов, которые работают для всех таких уравнений, и обычно каждое отдельное уравнение нужно изучать как отдельную проблему». Однако вы не привели уравнение! И использует ли иногда Matlab генетические алгоритмы, чтобы достичь своих поверхностей? То есть, использует ли он эмпирическое правило, чтобы сделать наилучшее предположение, а затем пробует небольшие изменения в квадратах компонентов до тех пор, пока не удается найти меньшую поверхность. Реализация такого рода решения была бы трудоемкой, но не концептуально сложной (если вам нравятся подобные вещи). Также помните, что исчисление непрерывных функций - это просто частный случай исчисления всех линейных приближений функций (приращение устанавливается на ноль вместо некоторого конечного значения). Это стало мне ясно, когда я прочитал книги Дж. Л. Белла по гладкому инфинитезимальному анализу - просто используйте эту алгебру с конечными приращениями и оставьте результирующие множители в выводах, а не «пренебрегайте» ими.

Очевидно, что Matlab и SciPy по-разному понимают TPS. Реализация Matlab выглядит правильно. SciPy обрабатывает TPS так же, как другие RBF, поэтому вы могли бы правильно реализовать его на Python самостоятельно - этого было бы достаточно, чтобы сформировать матрицу соответствующей системы линейных уравнений и решить ее, чтобы получить коэффициенты TPS.

Вы можете использовать FEniCS:

from fenics import (
    UnitSquareMesh,
    FunctionSpace,
    Expression,
    interpolate,
    assemble,
    sqrt,
    inner,
    grad,
    dx,
    TrialFunction,
    TestFunction,
    Function,
    solve,
    DirichletBC,
    DomainBoundary,
    MPI,
    XDMFFile,
)

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquareMesh(100, 100)
V = FunctionSpace(mesh, "Lagrange", 2)

# initial guess (its boundary values specify the Dirichlet boundary conditions)
# (larger coefficient in front of the sin term makes the problem "more nonlinear")
u0 = Expression("a*sin(2.5*pi*x[1])*x[0]", a=0.2, degree=5)
u = interpolate(u0, V)
print(
    "initial surface area: {}".format(assemble(sqrt(1 + inner(grad(u), grad(u))) * dx))
)

# Define the linearized weak formulation for the Newton iteration
du = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
q = (1 + inner(grad(u), grad(u))) ** (-0.5)
a = (
    q * inner(grad(du), grad(v)) * dx
    - q ** 3 * inner(grad(u), grad(du)) * inner(grad(u), grad(v)) * dx
)
L = -q * inner(grad(u), grad(v)) * dx
du = Function(V)

# Newton iteration
tol = 1.0e-5
maxiter = 30
for iter in range(maxiter):
    # compute the Newton increment by solving the linearized problem;
    # note that the increment has *homogeneous* Dirichlet boundary conditions
    solve(a == L, du, DirichletBC(V, 0.0, DomainBoundary()))
    u.vector()[:] += du.vector()  # update the solution
    eps = sqrt(
        abs(assemble(inner(grad(du), grad(du)) * dx))
    )  # check increment size as convergence test
    area = assemble(sqrt(1 + inner(grad(u), grad(u))) * dx)
    print(
        f"iteration{iter + 1:3d}  H1 seminorm of delta: {eps:10.2e}  area: {area:13.5e}"
    )
    if eps < tol:
        break

if eps > tol:
    print("no convergence after {} Newton iterations".format(iter + 1))
else:
    print("convergence after {} Newton iterations".format(iter + 1))

with XDMFFile(MPI.comm_world, "out.xdmf") as xdmf_file:
    xdmf_file.write(u)

(Изменено с помощью http://www-users.math.umn.edu/~arnold/8445/programs/minimalsurf-newton.py.)