Проблема с возвратом двумерного массива

Во-первых, двумерный массив не является двойным указателем.

Во-вторых, динамическое размещение. Если matrix — тип двумерного массива, то напишите что-то вроде этого:

typedef int matrix[ROWS][COLUMNS];
typedef int (*matrix_ptr)[COLUMNS];

matrix_ptr transpose_matrix(matrix m, int rows, int cols)
{
    matrix_ptr transposed = malloc(sizeof(*transposed) * rows);
    // transpose, then
    return transposed;
}

ОК: Здесь у вас есть 3 вещи:

1. Вы не можете вернуть указатель на локальную переменную (это будет мусор после возврата, а стек (память), где он был, используется повторно).
2. Массив распадается на указатель на первый элемент при передаче.
3. Арифметика указателя: p+1 увеличивает адрес в p на sizeof(*p), поэтому p указывает на следующий элемент, а не на следующий байт.

Простое исправление для вашего кода (это работает для любого размера матрицы):

    int* transpose_matrix(int *mat1,int number_of_rows,int number_of_columns)
    {
        int *mat2=malloc(number_of_rows*number_of_columns*sizeof(int));
        int row_index,column_index;
        for(row_index=0;row_index<number_of_rows;row_index++)
        {
            for(column_index=0;column_index<number_of_columns;column_index++)
                mat2[column_index*number_of_rows+row_index]=mat1[row_index*number_of_columns+column_index];
        }
        // at this point, mat2 is exactly the transpose of mat1
        return mat2;
    }

...
    print(m,r,c); // I hope you have a print()
    int *t=transpose_matrix(m,r,c);
    print (t,c,r);
...
    // use t[max: c-1][max: r-1]
    free(t);

Если у нас есть только матрица фиксированного размера (ну, с C99 мы также можем использовать массив переменной длины!).

typedef int  Matrix[ROWS][COLUMNS];
typedef int TMatrix[COLUMNS][ROWS];
typedef int (*pMatrix)[COLUMNS]; 
typedef int (*pTMatrix)[ROWS];  

pTMatrix transpose_matrix(Matrix m , int rows, int cols)
{
    pTMatrix t = malloc(sizeof(*t)*cols);
    for (int r=0; r<rows ; ++r)
    for (int c=0; r<cols ; ++r)
      t[c][r]=m[r][c];
    return t;
}

Ну, если строки и столбцы фиксированы, вам не нужно его передавать.... хммм...