Как предсказать столкновение корабля со сферой влияния тела в 2D

Используйте радиальное обнаружение столкновений (круги), при этом один круг представляет гравитационное влияние планеты (будет больше, чем сама планета), другой круг для каждого корабля и заставляет центральную точку каждого круга двигаться друг к другу по прямой линии. так немного, как расстояние уменьшается.

Примените величину притяжения каждого круга к скорости движения каждого корабля. Движение может быть выполнено с помощью простого триггера, cos() для x, sin() для y, нет необходимости в каких-либо более сложных математических вычислениях. Если расстояние между любыми двумя объектами меньше суммы их радиусов, то произошло столкновение.

Но при выполнении этой формы столкновения только с «гравитационными кругами», так сказать, когда они сталкиваются, вы можете увеличивать скорость корабля на небольшую величину на каждой итерации, чтобы имитировать гравитационное притяжение.

Вы можете попробовать построить функцию, описывающую (квадрат) расстояния между планетой и кораблем как функцию времени, используя обычное выражение расстояния Пифагора. Вы ищете нули этой функции, поэтому для поиска можно применить метод Ньютона или аналогичный. их.

Это должно хорошо работать при условии, что планета движется намного медленнее, чем движение корабля, — тогда функция будет относительно гладкой, и метод Ньютона не будет иметь проблем со сходимостью. Однако если планета движется намного быстрее, чем корабль, то эта функция расстояния будет подпрыгивать вверх и вниз, как «пружина», наложенная на некоторую параболоподобную кривую, и, возможно, несколько раз пересечет ось x. У метода Ньютона могут возникнуть проблемы с такими функциями, где производная быстро меняет направление.

Будем надеяться, что некоторые члены сократятся, когда вы создадите функцию расстояния, или выражение можно упростить или аппроксимировать каким-либо иным образом, но в противном случае может быть достаточно искать нули в вертикальном и горизонтальном направлениях. (На самом деле вы можете выбрать расстояния вдоль любой оси — например, большой оси орбиты планеты.) Нули в любой из этих функций являются необходимыми, но недостаточными условиями для столкновения, и их может быть проще вычислить. Если у вас есть список нулей в направлении x, отсортированный по времени, и такой же список нулей в направлении y, вы можете найти любые истинные столкновения, вычислив их пересечение слиянием списка (а-ля сортировка слиянием).

Поскольку на этот вопрос еще нет принятого ответа, и я не вижу приведенных ниже расчетов, я добавлю их в надежде, что это кому-то поможет. Я не понял, как получить время даты, однако я понял, как получить углы. Это даст вам расстояние между орбитальным телом и сои (или кораблем), если вы знаете угол:

public static double RadiusAtAngle(double angle, double semiLatusRectum, double eccentricity)
{
    return semiLatusRectum / (1 + eccentricity * Math.Cos(angle)); 
}

Что еще более важно, перевернув этот расчет, вы получите угол к краю soi, если вы знаете semiLatusRectum и эксцентриситет (радиус здесь будет расстоянием от тела до края soi):

public static double AngleAtRadus(double radius, double semiLatusRectum, double eccentricity)
{
    //r = p / (1 + e * cos(θ))
    //1 + e * cos(θ) = p/r
    //((p / r) -1) / e = cos(θ)
    return Math.Acos((semiLatusRectum / radius - 1) / eccentricity);
}

Для справки, semiLatusRectum можно найти из semiMajorAxis и эксцентриситета:

public static double SemiLatusRectum(double SemiMajorAxis, double eccentricity)
{
    if (eccentricity == 0)//ie a circle 
        return SemiMajorAxis;
    return SemiMajorAxis * (1 - eccentricity * eccentricity);
}

Обратите внимание, что эти вычисления также будут работать для гиперболических траекторий.