Вычисление вероятности для участка совместного распределения

Сначала переместите все так, чтобы два нормальных распределения (X и Z) были сосредоточены на нуле; теперь совместное распределение будет холмом с центром в начале координат.

Теперь масштабируйте одну из осей так, чтобы два распределения имели одинаковую дисперсию (или «ширину»). Теперь совместная вероятность должна быть вращательно-симметричным холмом.

Теперь все, что имеет значение, это то, насколько близко линия подходит к началу координат. Поверните вокруг начала координат (это оставит совместную вероятность неизменной), пока линия не будет параллельна одной из осей, скажем, Z. Теперь вы запрашиваете вероятность того, что случайная точка будет иметь X больше или меньше, чем значение X линии. Это определяется одной из масштабированных функций распределения (они одинаковы) и может быть рассчитано с помощью функции ошибок.

Я могу написать математику, если это будет полезно.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я попытаюсь написать последний шаг. Простите мой грубый ascii, у меня нет доступа к хорошему математическому планшету.

Предположим, мы масштабировали и центрировали распределения так, что sigmaX = sigmaZ = 1, и все повернули:

joint probability: P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2)

line: x = c

Теперь найдем вероятность того, что случайная точка окажется на узкой «вертикальной» полосе между некоторыми x и x+dx:

P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)

Но это то же самое, что (любое) одно из двух нормальных распределений. Таким образом, вероятность того, что случайная точка окажется, скажем, слева от прямой, равна

P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)}
       = 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))