Как вычислить линейный индекс трехмерной координаты и наоборот?

Есть несколько способов сопоставить трехмерную координату с одним числом. Вот один из способов.

некоторая функция f(x,y,z) дает линейный индекс координаты(x,y,z). У него есть некоторые константы a,b,c,d, которые мы хотим вывести, чтобы мы могли написать полезную функцию преобразования.

f(x,y,z) = a*x + b*y + c*z + d

Вы указали, что (0,0,0) соответствует 0. Итак:

f(0,0,0) = a*0 + b*0 + c*0 + d = 0
d = 0
f(x,y,z) = a*x + b*y + c*z

Это решено. Вы указали, что (1,0,0) соответствует 1. Итак:

f(1,0,0) = a*1 + b*0 + c*0 = 1
a = 1
f(x,y,z) = x + b*y + c*z

Это решено. Давайте произвольно решим, что следующим наибольшим числом после (MAX_X, 0, 0) будет (0,1,0).

f(MAX_X, 0, 0) = MAX_X
f(0, 1, 0) = 0 + b*1 + c*0 = MAX_X + 1
b = MAX_X + 1
f(x,y,z) = x + (MAX_X + 1)*y + c*z

Это б решено. Давайте произвольно решим, что следующим наибольшим числом после (MAX_X, MAX_Y, 0) будет (0,0,1).

f(MAX_X, MAX_Y, 0) = MAX_X + MAX_Y * (MAX_X + 1)
f(0,0,1) = 0 + (MAX_X + 1) * 0  + c*1 = MAX_X + MAX_Y * (MAX_X + 1) + 1
c = MAX_X + MAX_Y * (MAX_X + 1) + 1
c = (MAX_X + 1) + MAX_Y * (MAX_X + 1)
c = (MAX_X + 1) * (MAX_Y + 1)

теперь, когда мы знаем a, b, c и d, мы можем написать вашу функцию следующим образом:

function linearIndexFromCoordinate(x,y,z, max_x, max_y){
    a = 1
    b = max_x + 1
    c = (max_x + 1) * (max_y + 1)
    d = 0
    return a*x + b*y + c*z + d
}

Вы можете получить координату из линейного индекса по аналогичной логике. У меня есть поистине чудесная демонстрация этого, но эта страница слишком мала, чтобы вместить ее. Так что я пропущу лекцию по математике и просто дам вам последний метод.

function coordinateFromLinearIndex(idx, max_x, max_y){
    x =  idx % (max_x+1)
    idx /= (max_x+1)
    y = idx % (max_y+1)
    idx /= (max_y+1)
    z = idx
    return (x,y,z)
}

Если у вас нет верхнего предела координат, вы можете пронумеровать их от начала и дальше. Слой за слоем.

(0,0,0) -> 0
(0,0,1) -> 1
(0,1,0) -> 2
(1,0,0) -> 3
(0,0,2) -> 4
   :       :
(a,b,c) -> (a+b+c)·(a+b+c+1)·(a+b+c+2)/6 + (a+b)·(a+b+1)/2 + a

Обратное сложнее, так как вам придется решать многочлен 3-й степени.

m1 = InverseTetrahedralNumber(n)
m2 = InverseTriangularNumber(n - Tetra(m1))
a = n - Tetra(m1) - Tri(m2)
b = m2 - a
c = m1 - m2

куда

InverseTetrahedralNumber(n) = { x ∈ ℕ | Tetra(n) ≤ x < Tetra(n+1) } 
Tetra(n) = n·(n+1)·(n+2)/6 
InverseTriangularNumber(n) = { x ∈ ℕ | Tri(n) ≤ x < Tri(n+1) } 
Tri(n) = n·(n+1)/2

InverseTetrahedralNumber(n) можно либо рассчитать на основе большого аналитического решения, либо найти с помощью некоторый числовой метод.

Вот моя попытка алгебраического решения (javascript). Я использую замены p = a+b+c, q = a+b, r = a для упрощения уравнений.

function index(a,b,c) {
    var r = a;
    var q = r + b;
    var p = q + c;
    return (p*(p+1)*(p+2) + 3*q*(q+1) + 6*r)/6;
}

function solve(n) {
    if (n <= 0) {
        return [0,0,0];
    }

    var sqrt = Math.sqrt;
    var cbrt = function (x) { return Math.pow(x,1.0/3); };

    var X = sqrt(729*n*n - 3);
    var Y = cbrt(81*n + 3*X);
    var p = Math.floor((Y*(Y-3)+3)/(Y*3));
    if ((p+1)*(p+2)*(p+3) <= n*6) p++;
    var pp = p*(p+1)*(p+2);

    var Z = sqrt(72*n+9-12*pp);
    var q = Math.floor((Z-3)/6);
    if (pp + (q+1)*(q+2)*3 <= n*6) q++;
    var qq = q*(q+1);

    var r = Math.floor((6*n-pp-3*qq)/6);
    if (pp + qq*3 + r*6 < n*6) r++;

    return [r, q - r, p - q];
}