Разобьем положительно определенную квадратную матрицу на две одинаковые матрицы

Предположим, у вас есть следующий пример:

n = 4;
rng(0)
A = rand(n,n);
B = A * A';

Если матрица B имеет полный ранг, вы не можете точно покрыть исходную матрицу, используя меньшее количество измерений. Таким образом, вы можете только аппроксимировать его. Ключевая идея здесь состоит в том, чтобы свести к минимуму ошибку реконструкции.

Вы можете разложить B на собственные векторы, используя разложение по собственным значениям. Вы можете использовать eig в MATLAB, но вам нужно отсортировать собственные значения и соответствующие собственные векторы впоследствии. Вместо этого я предпочитаю разложение по единственному числу и использую svd в MATLAB. Обратите внимание, что SVD дает оптимальное решение для ошибки реконструкции в матричной аппроксимации низкого ранга.

[U,S,~] = svd(B);
U = U * sqrt(S);

Мы знаем, что B = U * U' сейчас. См. взаимосвязь между SVD и разложением по собственным значениям здесь.

Как я уже сказал, нам нужно аппроксимировать его. Я выбираю размеры, покрывающие 99% общей дисперсии, следующим образом:

coverage =  cumsum(diag(S.^2));
coverage = coverage ./ norm(S,'fro')^2;
[~, nEig] = max(coverage > 0.99);
U2 = U(:,1:nEig);

U2 имеет 2 столбца вместо 4 в этом случае. Если данные коррелированы, выигрыш будет еще меньше. Результаты приведены ниже:

B
B1 = U*U'
B2 = U2*U2'

B =

    2.8966    2.1881    1.1965    2.1551
    2.1881    1.9966    0.6827    1.8861
    1.1965    0.6827    0.7590    0.5348
    2.1551    1.8861    0.5348    2.0955


B1 =

    2.8966    2.1881    1.1965    2.1551
    2.1881    1.9966    0.6827    1.8861
    1.1965    0.6827    0.7590    0.5348
    2.1551    1.8861    0.5348    2.0955


B2 =

    2.8896    2.2134    1.1966    2.1385
    2.2134    1.9018    0.6836    1.9495
    1.1966    0.6836    0.7586    0.5339
    2.1385    1.9495    0.5339    2.0528

Кажется, это хорошее приближение.