Это начало новой серии коротких статей, в которых мы собираемся пройтись по теории обработки сигналов. На этом пути будут рассмотрены и обсуждены концепции, математика и вычислительные методы. В проклятии времени эта тема будет пересекаться с алгоритмами машинного обучения и методами искусственного интеллекта.

Пойдем!

Краткое содержание

  1. Введение (определения)
  2. Сигналы — 1. Операции; 2. Энергия и мощность.
  3. Системы.
  4. Заключение
  5. Ссылки

1. Введение: связь между полями

Обработка сигналов и машинное обучение — это две области, связанные по цели: извлечение информации из данных. Машинное обучение — это подпространство искусственного интеллекта, которое включает в себя разработку алгоритмов (статистических моделей), которые могут учиться на данных — решения и прогнозы на основе этих данных. Обработка сигналов, с другой стороны, представляет собой область исследований, которая занимается синтезом, модификацией и анализом сигналов. Сигналы — это величины, представляющие всевозможные явления: напряжение на линии передачи, светимость звезды в другой галактике или температура летнего дня. Автор Б.П. Лати в книге «Линейные системы и сигналы» утверждает, что:

Сигнал представляет собой набор данных или информации. Примеры включают телефонный или телевизионный сигнал, ежемесячные продажи корпорации или ежедневные цены закрытия фондового рынка (например, средние индексы Доу-Джонса). Во всех этих примерах сигналы являются функциями независимой переменной времени. Однако это не всегда так. Например, когда электрический заряд распределяется по телу, сигналом является плотность заряда, функция пространства, а не времени.

Алгоритмы машинного обучения полагаются на методы обработки сигналов для извлечения признаков из данных. Свертка и преобразование Лапласа для глубоких нейронных сетей, анализ Фурье для определения формант (энергии вокруг частоты) в голосовом сигнале, фильтр Калмана для прогнозирования данных… обработка сигналов обеспечивает основу для этапа извлечения признаков во многих алгоритмах машинного обучения, в то время как машинное обучение предоставляет мощный инструмент для анализа и прогнозирования на основе извлеченных признаков.

2. Сигналы

Мы только что увидели, что такое сигналы. Этот раздел быстро переходит к математическому анализу сигналов.

2.1 Сигнальные операции

Сигналы представлены в виде функций, и мы можем выполнять над ними некоторые математические операции.

2.1.1 Сумма и умножение

Suppose X1(t) = 5t and X2(t) = 10t

>Sum: 
  s(t) = X1(t) + X2(t)
  s(t) = 5t + 10t
  s(t) = 15t

>Multiplication:
  m(t) = X1(t) x X2(t)
  m(t) = 5t x 10t
  m(t) = 50t^2

2.1.2. Скалярное умножение и деление

С s(t) и m(t) из приведенного выше примера.

>Scalar multiplication:
  6s(t) = 6 x 15t = 90t

>Scalar division:
  m(t) / 10 = (50/10)t^2 = 5t^2

2.1.3. Сдвиг времени или перевод

Чтобы сдвинуть сигнал во времени, вы должны добавить константу к независимой переменной, переводя сигнал относительно начала системы координат.

Suppose a signal v(t). To time shift the signal in 10 seconds after time t=0
the argument of the signal is subtracted in 10 seconds:

v(t) --> v(t - 10)

2.1.4. Обращение времени или зеркальное отображение вертикальной оси

Suppose signal v(t). To time reverse it, the argument time of v(t)
must be passed in reverse:

v(t) --> v(-t)

2.1.5. Масштабирование времени или сжатие и расширение

Параметр сигнала — обычно время — может быть расширен или сжат. Это называется масштабированием времени.

Suppose a signal x(t). Compressing signal x(t) by a factor
of 2 is:

 > xc(t)   = x(2t)
or
 > xc(t/2) = x(t)

What happens in x(t) at t0 also happens in c(t) at t0/2

Чтобы расширить множитель, умножение и деление инвертируются:

Suppose a signal x(t). The expanded signal e(t) is:

> e(t) = x(t/2)
or
> e(2t) = x(t)

2.2. Энергия и мощность сигнала

Понятие энергии сигнала относится к силе сигнала, то есть его амплитуде и продолжительности. Идея не связана с физическим количеством энергии, измеряемым в джоулях [Дж], а является чем-то более абстрактным, что представляет собой общую интенсивность сигнала.

Энергия сигнала может быть измерена как площадь под |x|², интеграл:

Модуль существует, потому что сигнал может быть сложной функцией. Если он имеет реальное значение, он не нужен.

Если амплитуда x(t) не стремится к нулю, когда t стремится к бесконечности (например, периодическая функция), интеграл не будет сходиться. Для преодоления этой проблемы более адекватно вычислить мощность сигнала:

Вы можете видеть, что квадратный корень из Px представляет собой среднеквадратичное значение значения x(t).

3. Системы

Теперь мы знаем, что такое сигналы. Но что такое система? Система – это то, что работает по сигналу. Он получает сигнальную функцию, что-то с ней делает и в качестве результата выдает другой сигнал. Математически система представляет собой преобразование сигнальной функции. Вы можете прочитать первую часть его статьи, чтобы получить некоторое представление о том, что такое преобразование, и о концепции линейности.

Например, линейный регрессор — это линейная система.

3.1 Классификация систем

Существует 6 основных классификаций систем:

  1. Линейные и нелинейные системы
  2. Стационарные и нестационарные системы
  3. Каузальные и некаузальные системы
  4. Стабильные и нестабильные системы
  5. Обратимые необратимые системы
  6. Мгновенные и динамические системы

В этой статье будут рассмотрены их определения.

3.1.1 Линейные системы

Линейные системы — это те, которые подчиняются принципу суперпозиции.

Suppose a system described by the transformation T and real scalars a and b. 
Superposition principle is satisfied by properties: homogeinity and additivity:

Homogeinity:
            T[ ax(t) ] = aT[ x(t) ]
Additivity:
            T[ x(t) + z(t) ]= T[x(t)] + T[z(t)]

Немедленный анализ подтверждает, что нулевой ввод подразумевает нулевой вывод.

3.1.2 Стационарные системы

Стационарные системы или стационарные системы — это системы, в которых временной сдвиг входного сигнала означает не что иное, как равный временной сдвиг выходного сигнала.

Suppose T [] is a stationary system characteristic transformation.

If 
    T [x(t)] = y(t)
Then
    T[x(t+t0)] = y(t+t0)

3.1.3 Причинные системы

Те, в которых фактическое значение y(t) зависит только от текущего и прошлого значений x(t), — они не могут предвидеть никакого значения. Странно, но возможно. Проверьте этот пример:

3.1.4 Стабильные системы

Стабильные системы - это те, в которых вход с конечной амплитудой дает выход с конечной амплитудой. Это правило BIBO: Ограниченный ввод -> Ограниченный вывод.

3.1.5 Инвертируемые системы

Инвертируемая система позволяет восстановить входной сигнал из выходного сигнала. Математически преобразование T[] имеет инвертированное преобразование G[]:

3.1.6. Системы мгновенного действия

Как значение x(t) при t=5 с влияет на y(t) при t=10 с? Если ответ на этот вопрос «нет», система работает мгновенно. В противном случае внутри системы есть какая-то память, в которой предыдущие значения x(t) [или состояние] влияют на будущие значения y(t).

4. Вывод

Как было сказано выше, введение. Мы увидели, что такое сигналы и системы, их понятия, операции и классификации. В следующий раз мы увидим преобразование Лапласа и свертки, как дискретные, так и непрерывные, а также графический анализ.

Спасибо.

Рекомендации

  1. Линейная система и сигналы, книга Б.П. Лати
  2. Introdução à Analise de Sinais e Sistemas, книга Ж. Карвалью, Э. Гуржао и Л. Велозу