Разберитесь в знаменитом математическом свойстве, которое послужило проклятием для нескольких сложных реальных жизненных проблем и по-прежнему играет важную роль.

Введение

Словарь определяет «инвариант» как «никогда не меняется», и это все, что есть на самом деле. Инвариант в математике - это свойство математического объекта, которое остается неизменным даже после многократного преобразования объекта. Если для некоторых объектов это свойство отличается, то мы никогда не сможем перейти от исходного объекта к более новым, попробовав те же преобразования. Это может показаться сложным, но действительно полезно, а в некоторых случаях может даже решить проблему.

Типы

В основном есть две широкие категории:

  1. Инвариантность: свойство, которое остается постоянным.
  2. Монодисперсия: свойство, которое изменяется только в одном направлении. Он либо всегда увеличивается, либо уменьшается.

Как сказал Артур Энгель: «Принцип инвариантности - это эвристический принцип, лучше всего усваиваемый на опыте», давайте попробуем решить несколько примеров, чтобы понять.

Пример 1: одинокий выживший

Утверждение. Предположим, на бумаге написано от 1 до 1000 чисел. На каждом шаге мы выбираем два любых числа (случайным образом) и заменяем их их разностью. Возможно ли, чтобы в итоге осталось 243?

Вывод: это хороший вопрос для начала, но для некоторых может оказаться непростым. Логика грубой силы говорит, что нужно начинать со всех чисел и продолжать пробовать все возможные комбинации, выбирая 2 числа из 1000. Затем делайте это снова и снова, и если вы когда-нибудь дойдете до 243 в конце, ответ будет «да», в противном случае , "возможно", поскольку есть еще много способов решить эту проблему. Введите инвариантность. (Обратите внимание, попробуйте найти какое-то свойство, которое никогда не меняется, пока мы выполняем операцию, прежде чем идти дальше)

Решение:

Пример 2: Все равны

Утверждение: круг делится на 6 секторов, затем в секторы записываются числа 1, 0, 1, 0, 0, 0 (по часовой стрелке). На каждом шаге вы увеличиваете номер двух соседних секторов на 1. Можно ли получить все сектора с одинаковым номером после некоторых шагов?

Вывод: опять же, у нас есть много возможностей выбора, и, следовательно, операция может выполняться для любой пары из 6. Спускаясь на один уровень ниже, мы снова выбираем любую пару из 6. Одно отличие от предыдущей. вопрос, это никогда не прекратится, если у вас нет решения, т.е. все числа одинаковы. Следовательно, вы можете применить грубую силу для 1000 уровней, и состояние решения все равно будет «возможно».

Решение:

Пример 3: Набор для жизни!

Утверждение: Начните с набора {3, 4, 12}. На каждом шаге выбирайте любые два числа, например, a, b (случайным образом), и заменяйте их на 0.6a — 0.8b и 0.8a + 0.6b.. Возможно ли достичь {4, 6, 12}?

Вывод: Обратите внимание, порядок не имеет значения (установлен), все, что требуется, - это каким-то образом, выполнив операции, можем ли мы преобразовать исходный набор в окончательный.

Решение:

Заключение

Простое знание инвариантности и ее применения может привести к резкому сокращению пространства решений. Как очевидно, мы преобразовали почти невозможное решение методом грубой силы в одну строку. Основная проблема состоит в том, чтобы определить, имеет ли проблема скрытую под ней инвариантность, и затем окончательно ее идентифицировать. После того, как вы сделали, решение вполне в пределах досягаемости.