Понимание интерпретации вероятности
Вступление
С юных лет нас учат вероятностям - часто с помощью простых примеров, таких как подбрасывание монеты или бросок кости.
Однако каково фактическое определение вероятности? Для базовых примеров, подобных приведенному выше, это может показаться очевидным; однако для многих других ситуаций это гораздо более неоднозначно.
Например, как определить вероятность того, что событие произойдет только один раз? Или как определить вероятность события, которое касается (возможно, бесконечного) набора факторов, таких как вероятность попадания данного человека в автомобильную аварию? Помимо этого, как наши личные убеждения и опыт влияют на вероятности?
На протяжении истории философии вероятности были созданы различные интерпретации. Каждый из них по-разному решает указанные выше проблемы. В этой статье я рассмотрю четыре распространенных толкования вероятности: Классический, Частотный, Субъективный и Аксиоматический.
Классический
Классическая интерпретация была первой строгой попыткой определить вероятность. Он был разработан в контексте простых азартных игр, таких как бросание монет или бросание кубиков, и касается событий, в которых есть равновероятные взаимоисключающие исходы. Его основная идея - принцип безразличия, который гласит, что если существует N взаимоисключающих и коллективно исчерпывающих возможных результатов, то вероятность любого отдельного результата должна быть 1 / N. Итак, для события A, которое соответствует N_A возможных результатов, тогда P (A) = N_A / N.
Преимущества
Этот подход концептуально прост и полезен для простых примеров из реальной жизни. Людям, не имеющим опыта в математике или статистике, это, безусловно, самый простой способ усвоить и применить к базовым примерам из реальной жизни.
Ограничения
Простота этой интерпретации ограничивает ее по нескольким причинам. Он не может обрабатывать события с бесконечным числом возможных результатов. Он также не может обрабатывать события, в которых каждый исход не является равновероятным, например, бросок взвешенного кубика. Эти ограничения делают его неприменимым для более сложных задач.
Частотник
Затем последовала частотная интерпретация, которая в настоящее время является наиболее часто используемой в статистике. Частотный подход связан с частотой событий, происходящих после большого количества испытаний. Формально, если N_A - это количество случаев события A в N испытаниях, то отношение N_A / N когда N приближается к бесконечности, равно P (A).
Преимущества
Такой подход решает некоторые проблемы классического подхода. Подход Frequentist способен справиться с ситуациями, в которых результаты не равновероятны, поскольку он касается только возникновения события. Этот подход также может обрабатывать вероятности, которые не связаны с одним исходом. Например, если событие имеет вид «Случайно выбранное положительное целое число - четное», даже если нет конкретного представляющего интерес результата - поскольку существует бесконечно много целых чисел - вероятность события все же может быть определена путем выборки все большего числа целых чисел. . По мере того, как мы выбираем все больше и больше чисел, вероятность будет приближаться к 1/2.
Ограничения
Несмотря на то, что этот подход улучшает классический подход, он все же имеет несколько ограничений.
«Бесконечные» повторения
Идея повторения эксперимента бесконечное количество раз - это мысленный эксперимент, а не то, что реально можно сделать. Мы можем провести большое количество испытаний, но, конечно, никогда не бесконечное количество из них. Итак, когда мы пытаемся оценить вероятности, полученная величина не будет сходиться, а вместо этого будет колебаться вокруг «истинной» вероятности события. Трудно количественно оценить эту степень неопределенности без кругового использования вероятности.
Единичные события
Кроме того, подход Frequentist не имеет четкого способа обработки событий, которые произойдут только один раз. Не все вероятности относятся к событиям, которые происходят в повторяющихся испытаниях. Например, если событие касается цены открытия акции завтра, невозможно получить более одной выборки.
Субъективный
Субъективная интерпретация использует подход, отличный от двух предыдущих. Вместо того, чтобы заниматься частотами или подсчетом, субъективный подход предполагает, что вероятности проистекают из личной (субъективной) степени уверенности человека в том, что конкретное событие произойдет, на основе всей доступной ему соответствующей информации. Эта точка зрения хорошо согласуется с байесовской статистикой, которая описывает, как люди корректируют свои убеждения по мере поступления дополнительной информации.
Преимущества
Это улучшает предыдущие интерпретации, поскольку позволяет нам создавать вероятности любого события. Ясно, что человек может иметь определенную степень веры в любое событие, независимо от того, как часто оно происходит или каковы соответствующие результаты. В этом случае субъективный подход может включать другие подходы, поскольку нет особой причины, по которой наши личные убеждения не могут согласовываться с частотными или классическими подходами в соответствующих ситуациях. Например, даже при субъективной интерпретации большинство людей все равно верят в то, что вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты составляет 50%, поскольку нет никаких свидетельств того, что любая из сторон монеты более вероятна.
Ограничения
Несмотря на то, что этот подход позволяет нам производить вероятности любого события, все еще существуют проблемы, связанные с достоверностью этих вероятностей и их полезностью.
Проблема эталонного класса
Поскольку вероятности - это личные степени убеждений, каждый человек может иметь разную вероятность того или иного события. Это может быть связано с личным мнением и / или доступностью другой информации. Эта проблема касается проблемы эталонного класса, которая относится к задаче определения того, какие предшествующие события относятся к определенному событию. Например, если мы хотим определить вероятность того, что конкретный человек попадет в автомобильную аварию в 2019 году, нам нужно начать с некоторого соответствующего класса людей. Разные люди придумывают разные классы ссылок. Вы можете использовать широкую формулировку, например Все водители в США, или очень конкретную, например Все водители в этом городе в этом штате, которые ездят в это время на этом типе автомобиля…. В зависимости от эталонного класса, который вы решите использовать, у вас будет другая вероятность. Это напрямую связано с задачей выбора априорной вероятности в байесовской статистике.
Согласованность
Далее, чтобы эти субъективные вероятности были полезными, они должны быть согласованными. Чтобы быть последовательными, они должны удовлетворять основным законам вероятности. Например, даже в соответствии с нашими субъективными убеждениями P (A) должно быть ≤ P (A или B). Это можно лучше понять с помощью аргумента голландская книга. В азартных играх голландская книга - это набор вероятностей и потенциальных результатов, при которых букмекер гарантированно получит прибыль. Утверждается, что для того, чтобы букмекер не забронировал его, личные степени убеждений рационального агента должны быть последовательными.
Независимо от этого аргумента, было проведено множество исследований, демонстрирующих несогласованность личных убеждений людей. Например, ошибка конъюнкции наблюдалась много раз экспериментально, когда люди полагали, что P (A) ‹P (A и B). В работе Амоса Тверски и Дэниела Канемана они создали знаменитую проблему Линды.
Очевидно, что исходя из аксиом вероятности, ответ будет A. Однако экспериментально большинство участников выбрали B. Различные эвристики, которые наш мозг использует во время принятия решений, привели участников к этой ошибке, поскольку они связали описание социальной справедливости с атрибутом активности в феминистском движении. В общем, часто довольно легко впасть в эти заблуждения. Таким образом, во многих случаях субъективные вероятности могут не быть последовательными, несмотря на то, что предлагает пример из голландской книги.
Аксиоматический
Окончательная «интерпретация» - это та, которая объединяет требования трех вышеупомянутых. Он помещает определение согласованности в явные математические формализмы. Поскольку для субъективных вероятностей требуется согласованность, а субъективные вероятности могут включать частотные и классические интерпретации, аксиоматический подход является всеобъемлющим.
Эта интерпретация состоит из 3 аксиом вероятности:
- 0 ≤ P (E) ≤ 1 для любого события E.
- Вероятность того, что «произойдет какое-то событие», равна 1. Должно произойти хотя бы одно событие.
- Вероятность объединения взаимоисключающих событий - это сумма вероятностей отдельных событий.
Эти аксиомы можно использовать для вывода многих других фактов. С помощью этих аксиом мы можем разработать теорию вероятности, свободную от субъективной интерпретации.
