Примечания: Сущность линейной алгебры

Плейлист видео: Ссылка на видео от 3Blue1Brown

Видео 1:

Значение вектора для физика (стрелки указывают в пространстве), CS Student (упорядоченный список чисел, множеств), математика ()
В линейной алгебре вектор всегда будет исходить из точки 0,0 в пространстве.
Векторы - это координаты расстояния по оси X или Y, которые также могут быть представлены в виде матрицы 1X2.
(Сложение) Сумма двух векторов = движение по вектору 1, затем движение по вектору 2, тогда общее перемещение - это сумма двух векторов (т.е. сложение матрицы), затем следование конечной точке от начала координат
(Масштабирование) Умножение векторов: масштабирование факторов на коэффициент умножения

Видео 2: Основа и диапазон

вектор i - это ось x, а j - ось y
i и j являются основой системы координат (а все остальное просто масштабирует эти основы в системе координат)
[Техническое определение:] Основа вектора - это набор линейно независимых векторов, охватывающих все пространство.
Выбор базисного вектора имеет значение при выборе системы координат.
Span: из двух векторов задается все линейные комбинации (т.е. точки, которых они могут достичь)
Если добавление двух векторов сохраняет результирующий диапазон векторов в одном измерении, тогда они линейно зависимы, а если их добавление добавляет новый диапазон измерений, то они «линейно независимы».

Видео 3. Линейное преобразование

Линейное преобразование: линейное (все линии должны оставаться линиями, а исходная точка остается фиксированной) + преобразование (функция, которая принимает входные данные и выдает выходные данные, преобразование используется вместо функции, чтобы придать int роль момента вектора из его начального положения в конечная позиция)

Место, где исходный вектор приземляется после преобразования, используется как значение, которое нужно умножить на другие векторы, чтобы найти, где они приземляются после преобразования.

Видео 4. Умножение матриц

Если вы хотите применить линейное преобразование много раз (вращение + сдвиг), то это называется композицией.

Умножение матриц не коммутативно
Умножение матриц не ассоциативно

Видео 5. Линейное трехмерное преобразование

Видео 6. Детерминант

Определитель матрицы - это изменение площади, покрываемой векторами, после преобразования.

Детерминант - ноль 0, если область сжимается до одиночной
-ve Определитель возникает из-за переворота ориентации пространства
В 3D-матрице определяющим фактором является измененный объем

Видео 7: обратное, рейтинг

Визуально это можно интерпретировать как преобразование, необходимое для того, чтобы вектор A попадал в вектор V после преобразования.
Обратное преобразование - это преобразование, которое требуется от V, чтобы вернуться к A (AInv A - это идентификатор, поскольку в конечном итоге он ничего не делает)
Если Детерминант не равен НУЛЮ, Детерминант будет существовать (если ноль, область будет линией, и вы не сможете разложить заднюю линию обратно на площадь или объем с помощью одной функции)
Обратный X A ничего не делает, поэтому матрица идентичности
Решение все еще может существовать, если определитель равен нулю, если решение существует на той же линии
Когда выход Детерминанта равен 0 (он сжимается до линии), тогда ранг матрицы считается равным 1, если трансформация попадает на 2-мерную плоскость вместо линии, чем она имеет ранг 2.
РАНГ: количество измерений в выходных данных.
Будь то линия плоскости: она называется пространством столбцов матрицы, а столбец сообщает, где приземляется базовый вектор.
Размах столбцов = пространство столбцов

0,0 всегда находится в пространстве столбца, поскольку при линейном преобразовании начало координат не может быть перемещено, и любое количество векторов может приземлиться в начале координат после преобразования, таким образом, это нулевое пространство (ядро матрицы) вектора.

Видео 8: Неквадратные матрицы и преобразование

Преобразование может происходить между межразмерными измерениями в 1D-2D и т. Д.

Видео 9: Точечное произведение и двойственность

Точечное произведение проецирует вектор на другой вектор и умножает его длину, если проекция находится в другом направлении, точечное произведение будет отрицательным, а если перпендикулярно, то проекция будет нулевой.

Порядок не имеет значения, кто на кого проецирует

Векторное умножение (1X2 матрица = 2D матрица)

Двойственность: естественное соответствие (т. Е. Линейное преобразование вектора - это некоторый другой вектор в этом пространстве) (т. Е. 2 вычисления, которые выглядят одинаково)

Видео 10. Совместный продукт

возьмите вектор v и переместите вектор w в его конец, а затем повторите то же самое в другом порядке (т.е. возьмите w и переместите начало v в конец w), полученная диаграмма представляет собой параллелограмм) - Определитель
+ ve и -ve обусловлены порядком (j должен быть слева от I против часовой стрелки)

Перекрестное произведение - это не число, а результирующий вектор в соответствии с правилом большого пальца правой руки величины, заданной числом.

Видео 11. Перекрестное произведение + линейное преобразование

Визуализация кросс-продукта в 3D

Видео 12. Правило Крэммерса

Видео 13: Изменение основы

переход к одним и тем же векторам, но с использованием другого базиса, означает различное масштабирование для приземления и тех же координат (описывающих одно и то же, но на разных языках)
рисование разных линий сетки для одних и тех же векторов

Видео 14: Собственные значения и собственные векторы

при преобразовании вектора его диапазон также изменяется, но иногда даже после преобразования диапазон не изменяется
Поскольку те векторы, которые остаются в своем диапазоне даже после преобразования, но растягиваются, называются собственными векторами преобразования, а собственные значения - это коэффициенты, на которые они растягиваются или сжимаются.